集合演算における対偶律

全体集合\(U\)はすべての三角形からなる集合であるものとします。集合\(A,B\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \text{すべての内角が等しい三角形}\right\} \\
B &=&\left\{ \text{正三角形}\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。すべての内角が等しい三角形は正三角形でもあるため、\begin{equation}
A\subset B \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立ちます。逆に、正三角形のすべての内角は等しいため、\(\left( 1\right) \)の逆である、\begin{equation*}B\subset A
\end{equation*}は成り立ちます。集合\(A,B\)の補集合は、\begin{eqnarray*}A^{c} &=&\left\{ \text{等しくない内角を持つ三角形}\right\} \\
B^{c} &=&\left\{ \text{正三角形ではない三角形}\right\}
\end{eqnarray*}です。等しくない内角を持つ三角形は正三角形ではないため、\(\left( 1\right) \)の裏である、\begin{equation*}A^{c}\subset B^{c}
\end{equation*}は成り立ちます。正三角形ではない三角形は等しくない内角を持つため、\(\left( 1\right) \)の対偶である、\begin{equation*}B^{c}\subset A^{c}
\end{equation*}は成り立ちます。

全体集合\(U\)はすべての四角形からなる集合であるものとします。集合\(A,B\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \text{長方形}\right\} \\
B &=&\left\{ \text{2組の平行な辺を持つ四角形}\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。長方形は2組の平行な辺を持つ四角形であるため、\begin{equation}
A\subset B \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。その一方で、平行四辺形は2組の平行な辺を持つ四角形である一方で長方形ではないため、\(\left( 1\right) \)の逆である、\begin{equation*}B\subset A
\end{equation*}は成り立ちません。集合\(A,B\)の補集合は、\begin{eqnarray*}A^{c} &=&\left\{ \text{長方形ではない四角形}\right\} \\
B^{c} &=&\left\{ \text{平行な辺が1組以下であるような四角形}\right\}
\end{eqnarray*}です。平行四辺形は長方形ではない四角形ですが2組の平行な辺を持つため、\(\left( 1\right) \)の裏である、\begin{equation*}A^{c}\subset B^{c}
\end{equation*}は成り立ちません。その一方で、平行な辺が1組以下であるような四角形は長方形ではないため、\(\left( 1\right) \)の対偶である、\begin{equation*}B^{c}\subset A^{c}
\end{equation*}は成り立ちます。

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset B\Leftrightarrow B^{c}\subset A^{c} \\
&&\left( b\right) \ B\subset A\Leftrightarrow A^{c}\subset B^{c}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

全体集合はすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)であるものとします。以下の2つの集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x^{2}-6x+5\text{は偶数}\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}について、\begin{equation}
A\subset B \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを示します。集合\(A,B\)の補集合は、\begin{eqnarray*}A^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x^{2}-6x+5\text{は奇数}\right\} \\
B^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、対偶律より、\(\left( 1\right) \)を示す代わりにその対偶\begin{equation}B^{c}\subset A^{c} \quad \cdots (2)
\end{equation}を示しても構いません。そこで、\(x\in B^{c}\)を満たす\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選びます。つまり、\(x\)は偶数であるため、何らかの整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}x=2z
\end{equation*}と表すことができます。このとき、\begin{eqnarray*}
x^{2}-6x+5 &=&\left( 2z\right) ^{2}-6\left( 2z\right) +5 \\
&=&4z^{2}-12z+5 \\
&=&2\left( 2z^{2}-6z+2\right) +1
\end{eqnarray*}となりますが、これは奇数であるため、\(A^{c}\)の定義より\(x\in A^{c}\)を得ます。したがって\(\left(2\right) \)の証明が完了したため、それと論理的に同値である\(\left( 1\right) \)の証明もまた完了しました。

全体集合はすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)であるものとします。以下の2つの集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ 3x+1\text{は偶数}\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
A\subset B
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

変数\(x,y\)の定義域はすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)であるものとします。以下の集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{Z} ^{2}\ |\ x+y\geq 15\right\} \\
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{Z} ^{2}\ |\ x\geq 8\vee y\geq 8\right\}
\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
A\subset B
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

変数\(x,y\)の定義域はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)であるものとします。以下の集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y^{3}+yx^{2}\leq x^{3}+xy^{2}\right\} \\
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
A\subset B
\end{equation*}が成り立つことを示してください。