論理式\(A,B\)に対して、\(B\rightarrow A\)を含意\(A\rightarrow B\)の逆と呼び、\(\lnot A\rightarrow \lnot B\)を\(A\rightarrow B\)の裏と呼び、\(\lnot B\rightarrow \lnot A\)を\(A\rightarrow B\)の対偶と呼びます。含意とその対偶は同値であり、含意の逆と裏は同値です。
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逆・裏・対偶

論理式\(A,B\)に対して、\(B\rightarrow A\)を含意\(A\rightarrow B\)の(converse)と呼び、\(\lnot A\rightarrow \lnot B\)を\(A\rightarrow B\)の(inverse)と呼び、\(\lnot B\rightarrow \lnot A\)を\(A\rightarrow B\)の対偶(contraposition)と呼びます。

例(逆・裏・対偶)
命題変数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{三角形のすべての内角が等しい} \\
Q &:&\text{三角形が正三角形である}
\end{eqnarray*}とおくと、\begin{equation*}
P\rightarrow Q:\text{三角形のすべての内角が等しければ、それは正三角形である}
\end{equation*}となります。逆、裏、対偶はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
Q &\rightarrow &P:\text{三角形が正三角形ならば、そのすべての内角は等しい} \\
\lnot P &\rightarrow &\lnot Q:\text{三角形の内角の中に等しくないものがあるならば、それは正三角形ではない} \\
\lnot Q &\rightarrow &\lnot P:\text{三角形が正三角形ではないならば、その内角の中に等しくないものがある}
\end{eqnarray*}です。ちなみに、これらはいずれも真です。
例(逆・裏・対偶)
命題変数\(P,Q,R\)に関する論理式\begin{equation*}
P\rightarrow \left( Q\wedge R\right)
\end{equation*}について、逆、裏、対偶はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
\text{逆} &:&\left( Q\wedge R\right) \rightarrow P \\
\text{裏} &:&\lnot P\rightarrow \lnot \left( Q\wedge R\right) \\
\text{対偶} &:&\lnot \left( Q\wedge R\right) \rightarrow \lnot P
\end{eqnarray*}となります。ド・モルガンの法則より\(\lnot \left( Q\wedge R\right) \Leftrightarrow \lnot Q\vee \lnot R\)が成り立つため、裏と対偶をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
\text{裏} &:&\lnot P\rightarrow \left( \lnot Q\vee \lnot R\right) \\
\text{対偶} &:&\left( \lnot Q\vee \lnot R\right) \rightarrow
\lnot P
\end{eqnarray*}と表すこともできます。

 

対偶律

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
A & B & \lnot A & \lnot B & A\rightarrow B & \lnot B\rightarrow \lnot A \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:対偶律

つまり、任意の解釈のもとで\(A\rightarrow B\)の値は\(\lnot B\rightarrow \lnot A\)の値と一致するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\rightarrow B\Leftrightarrow \lnot B\rightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ちます。含意とその対偶は論理的に同値ということです。同様にして、\begin{equation*}
\left( b\right) \ B\rightarrow A\Leftrightarrow \lnot A\rightarrow \lnot B
\end{equation*}が成り立つことも示されます。つまり、逆と裏は論理的に同値です。以上を対偶律(law of contraposition)と呼びます。

命題(対偶律)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\rightarrow B\Leftrightarrow \lnot B\rightarrow \lnot A
\\
& \left( b\right) \ B\rightarrow A\Leftrightarrow \lnot A\rightarrow \lnot B
\end{align*}
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例(対偶律)
命題変数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{四角形が長方形である} \\
Q &:&\text{四角形が2組の平行な辺を持つ}
\end{eqnarray*}とおくと、\begin{equation*}
P\rightarrow Q:\text{四角形が長方形ならば、その四角形は2組の平行な辺を持つ}
\end{equation*}となります。また、その逆、裏、対偶はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
Q &\rightarrow &P:\text{四角形が2組の平行な辺を持つならば、その四角形は長方形である} \\
\lnot P &\rightarrow &\lnot Q:\text{四角形が長方形でないならば、その四角形は2組の平行な辺を持たない} \\
\lnot Q &\rightarrow &\lnot P:\text{四角形が2組の平行な辺を持たないならば、その四角形は長方形ではない}
\end{eqnarray*}となります。\(P\rightarrow Q\)は真であるため、対偶律より\(\lnot Q\rightarrow \lnot P\)もまた真です。また、平行四辺形は長方形ではないため\(Q\rightarrow P\)は偽です。したがって、対偶律より\(\lnot P\rightarrow \lnot Q\)もまた真です。

 

日常における対偶の用法

含意とその対偶は常に真理値が一致しますが、それとは矛盾するように思われる例を提示します。まず、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \text{お金があるから買い物ができる}
\end{equation*}という主張は明らかに正しいです。そこで、この対偶を取ると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \text{買い物ができないからお金がない}
\end{equation*}が得られますが、これは正しいとは言えません。お金があっても他の理由により買い物ができない事態が起こり得るからです。したがって、この例では含意とその対偶の真理値が一致しません。何故このような事態が起きたのでしょうか。

主張\(\left( a\right) \)は、「お金がある\(\Rightarrow \)買い物ができる」と定式化できますが、ここでのポイントは、お金があるという前提と、買い物ができるという結論の間には時間のずれが存在するということです。つまり、ある時点においてお金があるからこそ、それより後の時点において買い物ができるというのが\(\left( a\right) \)の本来の趣旨です。したがって、\(\left( a\right) \)の対偶を取る際にも、お金の保有に関する命題が、買い物に関する命題よりも時間的に先行している表現になっていなければなりません。以上を踏まえた上で\(\left( b\right) \)を修正すると、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \text{買い物ができないのはお金がないからである}
\end{equation*}となり、これは明らかに正しいです。つまり、\(\left( c\right) \)こそが\(\left( a\right) \)の正しい対偶です。

含意\(P\rightarrow Q\)において、\(P\)と\(Q\)の間に時間のずれが存在しない場合には、このような問題について気を煩わせる必要がなく、形式的にその対偶\(\lnot Q\rightarrow \lnot P\)を取れば問題ありません。一方、上の例のように、\(P\rightarrow Q\)において\(P\)が\(Q\)よりも時間的に先行する場合には、対偶\(\lnot Q\rightarrow \lnot P\)を取る際に\(\lnot P\)が\(\lnot Q\)よりも時間的に先行する表現になっているように気を配る必要があります。

次回は双対原理について学びます。

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