論理式が与えられたとき、その部分論理式をすべて特定できます。部分論理式の中には命題変数が含まれますが、命題変数の値が定まればこれまで定めた規則からすべての部分論理式の値が定まるため、結局、もとの論理式の値が定まります。つまり、論理式の値はそこに含まれる命題変数の値の組み合わせによって決まります。

2018年11月14日:公開

論理式の解釈

命題論理の対象は具体的な命題ではなく、命題を抽象化した命題変数という概念です。つまり、命題論理の最小単位は\(1\)または\(0\)を値として取り得る命題変数\(P,Q,\cdots \)です。命題論理では命題変数に様々な論理演算子を作用させることで論理式を得ますが、論理式の値を確定するためにはそこに含まれる個々の命題変数に\(1\)または\(0\)の値を代入する必要があります。

論理式について復習する

具体的には、論理式が与えられるとすべての部分論理式を特定できますが、部分論理式の中に含まれる命題変数の値が定まればこれまで定めた規則からすべての部分論理式の値が定まるため、結局、もとの論理式の値が定まります。つまり、論理式の値はそこに含まれる命題変数の値の組み合わせによって決まります。論理式に含まれる命題変数の値の組み合わせをその論理式の解釈(interetation)と呼びます。論理式の値を特定するためにはそれに対して何らかの解釈を与える必要があります。

部分論理式について復習する

具体例として、命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(P\wedge \lnot Q\)について考えます。この論理式の値を特定するためには命題変数\(P,Q\)の値を具体的に指定する必要があります。したがって、この論理式の解釈とは、そこに含まれる命題変数\(P,Q\)の値の組み合わせのことです。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
P & Q & P\wedge \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈

\(P,Q\)の値がともに\(1\)という解釈のもとでは論理式\(P\wedge \lnot Q\)の値は\(0\)になります。また、\(P\)が\(1\)で\(Q\)が\(0\)という解釈のもとでは\(P\wedge \lnot Q\)の値は\(1\)です。他の場合も含めて、それぞれの解釈のもとでの論理式\(P\wedge \lnot Q\)の値を示したものが上の真理値表です。この論理式は 4 通りに解釈可能です。

別の例について考えます。命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(\lnot P\rightarrow Q\)の値の解釈とは、そこに含まれる命題変数\(P,Q\)の値の組み合わせのことです。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot P\rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈

この論理式の部分論理式は\(P,\ \lnot P,\ Q,\ \lnot P\rightarrow Q\)の 4 つです。中でも命題変数\(P,Q\)が取り得る値の組み合わせは上の真理値表の 1 列目と 2 列目に記されています。さらに否定\(\lnot \)の定義を踏まえると、部分論理式\(\lnot P\)の値は真理値表の 3 列目で与えられます。\(Q\)と\(\lnot P\)は論理式ですから、これらに含意\(\rightarrow \)を作用させることで得られる部分論理式\(\lnot P\rightarrow Q\)の値は、含意\(\rightarrow \)の定義より、真理値表の 4 列目で与えられます。つまり、\(P\)と\(Q\)の値がともに\(0\)という解釈のもとでは\(\lnot P\rightarrow Q\)の値は\(0\)となり、それ以外の解釈のもとでは\(\lnot P\rightarrow Q\)の値は\(1\)になります。

例(論理式の解釈)
命題変数\(P,Q\)と命題定数\(F\)に関する論理式\(P\rightarrow F\vee Q\)の値は、以下の真理値表のように決定されます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & F & F\vee Q & P\rightarrow F\vee Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈
例(論理式の解釈)
命題変数\(P,Q,R\)に関する論理式\(P\rightarrow Q\vee R\)の値は、以下の真理値表のように決定されます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & Q\vee R & P\rightarrow F\vee Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈
例(論理式の解釈)
命題変数\(P,Q,R\)に関する論理式\(\lnot \left( P\wedge Q\right) \vee \lnot R\)の値は、以下の真理値表のように決定されます。

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & P\wedge Q & \lnot \left( P\wedge Q\right) & \lnot R
& \lnot \left( P\wedge Q\right) \vee \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈

次回からは恒真式について学びます。

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