論理式が与えられたとき、その部分論理式をすべて特定できます。部分論理式の中には命題変数が含まれますが、命題変数の値が定まればこれまで定めた規則からすべての部分論理式の値が定まるため、結局、もとの論理式の値が定まります。つまり、論理式の値はそこに含まれる命題変数の値の組み合わせによって決まります。

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論理式の解釈

命題論理の対象は具体的な命題ではなく、命題を抽象化した命題変数という概念です。つまり、命題論理の最小単位は\(1\)または\(0\)を値として取り得る命題変数\(P,Q,\cdots \)です。命題論理では命題変数に様々な論理演算子を作用させることで論理式を得ますが、論理式の値を確定するためにはそこに含まれる個々の命題変数に\(1\)または\(0\)の値を代入する必要があります。

論理式について復習する

具体的には、論理式が与えられるとすべての部分論理式を特定できますが、部分論理式の中に含まれる命題変数の値が定まればこれまで定めた規則からすべての部分論理式の値が定まるため、結局、もとの論理式の値が定まります。つまり、論理式の値はそこに含まれる命題変数の値の組み合わせによって決まります。論理式に含まれる命題変数の値の組み合わせをその論理式の解釈(interpretation)と呼びます。論理式の値を特定するためにはそれに対して何らかの解釈を与える必要があります。

部分論理式について復習する

例えば、命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(P\wedge \lnot Q\)について考えます。この論理式の値を特定するためには命題変数\(P,Q\)の値を具体的に指定する必要があります。したがって、この論理式の解釈とは、そこに含まれる命題変数\(P,Q\)の値の組み合わせのことです。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
P & Q & P\wedge \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈

\(P,Q\)の値がともに\(1\)という解釈のもとでは論理式\(P\wedge \lnot Q\)の値は\(0\)になります。また、\(P\)が\(1\)で\(Q\)が\(0\)という解釈のもとでは\(P\wedge \lnot Q\)の値は\(1\)です。他の場合も含めて、それぞれの解釈のもとでの論理式\(P\wedge \lnot Q\)の値を示したものが上の真理値表です。この論理式は 4 通りに解釈可能です。

別の例について考えます。命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(\lnot P\rightarrow Q\)の値の解釈とは、そこに含まれる命題変数\(P,Q\)の値の組み合わせのことです。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot P\rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈

この論理式の部分論理式は\(P,\ \lnot P,\ Q,\ \lnot P\rightarrow Q\)の 4 つです。中でも命題変数\(P,Q\)が取り得る値の組み合わせは上の真理値表の 1 列目と 2 列目に記されています。さらに否定\(\lnot \)の定義を踏まえると、部分論理式\(\lnot P\)の値は真理値表の 3 列目で与えられます。\(Q\)と\(\lnot P\)は論理式ですから、これらに含意\(\rightarrow \)を作用させることで得られる部分論理式\(\lnot P\rightarrow Q\)の値は、含意\(\rightarrow \)の定義より、真理値表の 4 列目で与えられます。つまり、\(P\)と\(Q\)の値がともに\(0\)という解釈のもとでは\(\lnot P\rightarrow Q\)の値は\(0\)となり、それ以外の解釈のもとでは\(\lnot P\rightarrow Q\)の値は\(1\)になります。

例(論理式の解釈)
命題変数\(P,Q\)と命題定数\(F\)に関する論理式\(P\rightarrow F\vee Q\)の値は、以下の真理値表のように決定されます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & F & F\vee Q & P\rightarrow F\vee Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈
例(論理式の解釈)
命題変数\(P,Q,R\)に関する論理式\(P\rightarrow Q\vee R\)の値は、以下の真理値表のように決定されます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & Q\vee R & P\rightarrow F\vee Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈
例(論理式の解釈)
命題変数\(P,Q,R\)に関する論理式\(\lnot \left( P\wedge Q\right) \vee \lnot R\)の値は、以下の真理値表のように決定されます。

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & P\wedge Q & \lnot \left( P\wedge Q\right) & \lnot R & \lnot \left( P\wedge Q\right) \vee \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理式の解釈

 

論理式の解釈の応用

日常言語を使って表現された問題をあえて論理式に翻訳した上で、それを解釈すれば、もとの問題を解く助けになります。いくつか例を挙げます。

例(論理式の解釈の応用)
目の前に 2 つの箱があります。それらを\(1,2\)とそれぞれ呼びます。一方の箱には宝物が入っており、もう一方の箱には罠が仕掛けられていることは分かっているものとします。それぞれの箱には以下のメッセージが記されています。\begin{eqnarray*}
\text{箱}1 &:&\text{少なくとも一方の箱に宝が入っている} \\
\text{箱}2 &:&\text{箱}1\text{の中に罠が仕掛けられている}
\end{eqnarray*}これらのメッセージは、ともに真実であるか、ともに偽りであるかのどちらか一方であることが分かっているものとします。このとき、箱を開けずに、宝が入っている箱を特定できるでしょうか。そこで、命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{箱}1\text{に宝が入っている} \\
Q &:&\text{箱}2\text{に宝が入っている}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定めます。一方の箱には宝物が入っており、もう一方の箱には罠が仕掛けられていることは分かっているため、\begin{eqnarray*}
\lnot P &:&\text{箱}1\text{に罠が仕掛けられている} \\
\lnot Q &:&\text{箱}2\text{に罠が仕掛けられている}
\end{eqnarray*}となります。それぞれの箱に記されているメッセージを論理式として表現すると、\begin{eqnarray*}
\text{箱}1 &:&P\vee Q \\
\text{箱}2 &:&\lnot P
\end{eqnarray*}となります。これらはともに真であるか、ともに偽りであるかのどちらか一方であることが分かっていますが、それは、同等\begin{equation*}
P\vee Q\leftrightarrow \lnot P
\end{equation*}の値が\(1\)であることを意味します。この論理式に関する真理値は以下の通りです。\(P\vee Q\leftrightarrow \lnot P\)の値が\(1\)であるのは真理値表の3行目の場合に限定されますが、このとき、\(P\)の値は\(0\)で\(Q\)の値は\(1\)です。したがって、箱\(2\)に宝物が入っていることが明らかになりました。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & P\vee Q & \lnot P & P\vee Q\leftrightarrow \lnot P \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:真理値表
例(論理式の解釈の応用)
あなたは森の中で道に迷っています。今、目の前に 3 本の道(左・中央・右)があります。道中、会った 3 人に道を聞いたところ、以下のようにそれぞれ教えてもらいました。3人とも嘘つきであることが分かっている場合、どの道へ行けば確実に森から出られるでしょうか。
  1. 左の道へ行けば森から出られるよ。あと、もし右の道から出られるなら、中央の道からも出られるよ。
  2. 左の道と右の道は、どちらを通っても森から出られないよ。
  3. 左の道へ行けば森から出られるよ。けど、中央の道へ行くと森から出られない。

命題変数\(L,M,R\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
L &:&\text{左の道から森の外へ出られる} \\
M &:&\text{中央の道から森の外へ出られる} \\
R &:&\text{右の道から森の外へ出られる}
\end{eqnarray*}と定めると、1番目のヒントが嘘であることは、以下の論理式\begin{equation}
L\wedge \left( R\rightarrow M\right) \tag{1}
\end{equation}の値が\(0\)であることを意味し、2番目のヒントが嘘であることは、以下の論理式\begin{equation}
\lnot L\wedge \lnot R \tag{2}
\end{equation}の値が\(0\)であることを意味し、3番目のヒントが嘘であることは、以下の論理式\begin{equation}
L\wedge \lnot M \tag{3}
\end{equation}の値が\(0\)であることを意味します。論理式\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)に関する真理値表は以下の通りです。今、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)の値がいずれも\(0\)であることは分かっていますが、それは以下の真理値表の5行目と7行目の場合に相当します。いずれの場合も値が\(1\)であるのは\(R\)だけですので、右の道を行けば確実に森から出られます。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
L & M & R & \left( 1\right) & \left( 2\right) & \left( 3\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:真理値表

次回からは恒真式について学びます。

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