\(A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\)がすべて真である場合には\(C\)は必ず真になります。これは選言除去と呼ばれる推論規則です。

選言除去

以下の命題が成り立ちます。

命題(選言除去)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ:\begin{equation*}
\left( A\rightarrow C\right) \wedge \left( B\rightarrow C\right) \wedge \left( A\vee B\right) \ \Rightarrow \ C
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B,C\)に関して、以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\ \models \ C
\end{equation*}が成立します。つまり、\(A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\)がすべて真である場合には\(C\)は必ず真になります。これは選言除去(disjunction elimination)や\(\vee \)除去(\(\vee \) elimination)と呼ばれる推論規則です。

例(選言除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし今日が平日ならば、私は仕事へ行く。} \\
&&\text{もし今日は週末ならば、私は仕事へ行く。} \\
&&\text{今日は平日または週末である。} \\
&&\text{ゆえに、私は仕事へ行く。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{今日は平日である} \\
Q &:&\text{今日は週末である} \\
R &:&\text{私は今日へ行く}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow R,\ P\vee Q\ \therefore \ R
\end{equation*}と定式化されます。連言除去より、これは妥当な推論です。

次回は二重否定導入と呼ばれる推論規則について学びます。
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