論理式の否定
論理式の定義より、論理式\(A\)に論理演算子\(\lnot \)を作用させることで得られる\(\lnot A\)もまた論理式です。\(\lnot \)は否定（negation）と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(\lnot A\)を\(A\)の否定（negation of \(A\)）や\(A\)でない（not \(A\)）などと呼びます。
P:\text{私は出かけない}
\end{equation*}とおいたのでは「〜ではない」という否定を上手く表現できていません。そこで、命題変数\(Q\)を、\begin{equation*}
Q:\text{私はでかける}
\end{equation*}とおいた上で、言明を\(\lnot Q\)と表現するほうが望ましいです。
P &:&\text{今日は日曜日だ。}
\\
Q &:&3\text{は}15\text{の約数である。} \\
R &:&\pi >3
\end{eqnarray*}とおくとき、それらの否定は、\begin{eqnarray*}
\lnot P &:&\text{今日は日曜日ではない。} \\
\lnot Q &:&3\text{は}15\text{の約数ではない。} \\
\lnot R &:&\pi \leq 3
\end{eqnarray*}となります。
否定の値
否定\(\lnot A\)の値は\(A\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表に定めます。つまり、否定\(\lnot \)は入力された論理式\(A\)に対して、それとは逆の値をとる論理式\(\lnot A\)を出力する論理演算です。
$$\begin{array}{cc}
\hline
A & \lnot A \\ \hline
1 & 0 \\ \hline
0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式ですから、これらもまた\(\lnot \)を作用させる対象となります。\(P,T,F\)とそれらの否定の真理値の対応規則は以下の真理値表から導かれます。
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & \lnot P & T & \lnot T & F & \lnot F \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & \lnot P & \lnot \lnot P & \lnot \lnot \lnot P & \lnot \lnot
\lnot \lnot P & \cdots \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \cdots \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \cdots \\ \hline
\end{array}$$
という関係が成り立ちます。つまり、\(\lnot \)を偶数回作用させると\(P\)と常に同じ真理値を持つ論理式が得られる一方で、\(\lnot \)を奇数回作用させると\(\lnot P\)と常に同じ真理値を持つ論理式が得られます。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
T & F & \lnot T & \lnot F \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
という関係が成り立ちます。つまり、\(T\)と\(\lnot F\)の真理値は常に一致し、\(F\)と\(\lnot T\)の真理値は常に一致します。
演習問題
$$\begin{array}{cccccccc}
\hline
P & Q & T & F & \lnot P & \lnot Q & \lnot T & \lnot F \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
\end{array}$$
次回は論理積の解釈について学びます。
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