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PROPOSITIONAL LOGIC

命題論理における否定

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論理式の否定

論理式の定義より、論理式\(A\)に論理演算子\(\lnot \)を作用させることで得られる\(\lnot A\)もまた論理式です。\(\lnot \)は否定(negation)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(\lnot A\)を\(A\)の否定(negation of \(A\))や\(A\)でない(not \(A\))などと呼びます。

例(否定)
「私は出かけない」という言明を定式化するとき、命題変数\(P\)を、\begin{equation*}
P:\text{私は出かけない}
\end{equation*}とおいたのでは「〜ではない」という否定を上手く表現できていません。そこで、命題変数\(Q\)を、\begin{equation*}
Q:\text{私はでかける}
\end{equation*}とおいた上で、言明を\(\lnot Q\)と表現するほうが望ましいです。
例(否定)
命題変数\(P,Q,R\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{今日は日曜日だ。}
\\
Q &:&3\text{は}15\text{の約数である。} \\
R &:&\pi >3
\end{eqnarray*}とおくとき、それらの否定は、\begin{eqnarray*}
\lnot P &:&\text{今日は日曜日ではない。} \\
\lnot Q &:&3\text{は}15\text{の約数ではない。} \\
\lnot R &:&\pi \leq 3
\end{eqnarray*}となります。

 

否定の値

否定\(\lnot A\)の値は\(A\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表に定めます。つまり、否定\(\lnot \)は入力された論理式\(A\)に対して、それとは逆の値をとる論理式\(\lnot A\)を出力する論理演算です。

$$\begin{array}{cc}
\hline
A & \lnot A \\ \hline
1 & 0 \\ \hline
0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:否定の値

論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式ですから、これらもまた\(\lnot \)を作用させる対象となります。\(P,T,F\)とそれらの否定の真理値の対応規則は以下の真理値表から導かれます。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & \lnot P & T & \lnot T & F & \lnot F \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:否定の値
例(否定の値)
命題変数\(P\)が与えられたとき、その否定\(\lnot P\)もまた論理式であるため、さらにその否定\(\lnot \left( \lnot P\right) \)すなわち\(\lnot \lnot P\)もまた論理式です。同様に考えると、\(\lnot \lnot \lnot P\)や\(\lnot \lnot \lnot \lnot P\)などはいずれも論理式であり、それらの真理値について、

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & \lnot P & \lnot \lnot P & \lnot \lnot \lnot P & \lnot \lnot
\lnot \lnot P & \cdots  \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \cdots \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \cdots \\ \hline
\end{array}$$

表:否定の値

という関係が成り立ちます。つまり、\(\lnot \)を偶数回作用させると\(P\)と常に同じ真理値を持つ論理式が得られる一方で、\(\lnot \)を奇数回作用させると\(\lnot P\)と常に同じ真理値を持つ論理式が得られます。

例(否定の値)
命題定数\(T,F\)の真理値に関して、

$$\begin{array}{cccc}
\hline
T & F & \lnot T & \lnot F \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:否定の値

という関係が成り立ちます。つまり、\(T\)と\(\lnot F\)の真理値は常に一致し、\(F\)と\(\lnot T\)の真理値は常に一致します。

 

演習問題

問題(否定)
「\(2\)は偶数ではない」という主張を論理式として定式化した上で、さらにその否定をとり、それらの論理式の真偽を判定してください。
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問題(否定)
以下の真理値表を完成させてください。
$$\begin{array}{cccccccc}
\hline
P & Q & T & F & \lnot P & \lnot Q & \lnot T & \lnot F \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
\end{array}$$

表:真理値表
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次回は論理積の解釈について学びます。

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