同等の値
論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\leftrightarrow \)を作用させることで得られる\(A\leftrightarrow B\)もまた論理式です。\(\leftrightarrow \)は同等（equivalent）と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\leftrightarrow B\)を\(A\)と\(B\)の同等（equivalent of \(A\) and B）と呼びます。これは「\(A\)のとき、かつそのときに限り\(B\)である（\(A\) if and only if \(B\)）」という表現に対応する論理式です。
P &:&\text{私が彼に連絡をする} \\
Q &:&\text{彼が私に連絡をする}
\end{eqnarray*}とおくと、与えられた言明は、\begin{equation*}
P\leftrightarrow Q
\end{equation*}と定式化されます。
P &:&x=0 \\
Q &:&y=0 \\
R &:&xy=0
\end{eqnarray*}とおくと、与えられた言明は、\begin{equation*}
P\wedge Q\leftrightarrow R
\end{equation*}と定式化されます。
P &:&\text{試験に受かる} \\
Q &:&\text{単位をもらう}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、含意\(P\rightarrow Q\)は、\begin{equation*}
\text{試験に受かれば単位がもらえる}
\end{equation*}という主張に対応する一方で、同等\(P\leftrightarrow Q\)は、\begin{equation*}
\text{試験に受かる場合、そしてその場合にのみ単位がもらえる}
\end{equation*}という主張に対応します。
P &:&\text{期末試験で優をとる} \\
Q &:&\text{期末試験で良をとる} \\
R &:&\text{単位が与えられる}
\end{eqnarray*}とおくと、与えられた言明は、\begin{equation*}
P\vee Q\leftrightarrow R
\end{equation*}と定式化されます。
同等の値
同等\(A\leftrightarrow B\)の値は\(A\)と\(B\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表で定めます。つまり、同等\(\leftrightarrow \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、\(A\)と\(B\)の値が一致する場合にのみ\(1\)を値としてとる論理式\(A\leftrightarrow B\)を出力する論理演算です。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\leftrightarrow B \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式ですから、これらもまた\(\leftrightarrow \)を作用させる対象となり得ます。\(P,T,F\)とそれらの排他的論理和の真理値の対応規則は以下の真理値表の通りです。
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & T & F & P\leftrightarrow T & P\leftrightarrow F & T\leftrightarrow F \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & P\leftrightarrow Q & \left( P\leftrightarrow Q\right) \leftrightarrow R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
という関係が成り立ちます。
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\leftrightarrow Q & \lnot P\leftrightarrow Q & P\leftrightarrow \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
という関係が成り立ちます。
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & \lnot P & \lnot R & \lnot P\wedge Q & \left( \lnot P\wedge Q\right) \leftrightarrow \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
という関係が成り立ちます。
同等と否定・論理積・論理和の関係
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、含意\(\rightarrow \)と同等\(\leftrightarrow \)の定義より、以下の真理値表を得ます。
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
A & B & A\rightarrow B & B\rightarrow A & \left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) & A\leftrightarrow B \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
上の真理値表より、同等\(A\leftrightarrow B\)の値は論理式\(\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) \)の値と常に一致するため、同等\(\leftrightarrow \)は含意\(\rightarrow \)と論理積\(\wedge \)から間接的に定義可能です。加えて、以前に示したように、含意\(A\rightarrow B\)と論理式\(\lnot A\vee B\)の真理値は常に一致するため、含意\(\rightarrow \)は否定\(\lnot \)と論理和\(\vee \)から間接的に定義可能です。したがって、否定\(\lnot \)と論理積\(\wedge \)と論理和\(\vee \)さえ定義されていれば同等\(\leftrightarrow \)を新たな論理演算として定義する必要はありません。とは言え、同等を独立した論理演算として定義しておくと何かと便利であるため、以降でも引き続き\(\leftrightarrow \)を利用します。
演習問題
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & P\vee Q & P\wedge Q & P\vee Q\leftrightarrow P\wedge Q \\
\hline
1 & 1 & & & \\ \hline
1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 1 & & & \\ \hline
0 & 0 & & & \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{cccccccc}
\hline
P & Q & P\wedge Q & \lnot \left( P\wedge Q\right) & \lnot P & \lnot Q & \lnot P\vee \lnot Q & \lnot \left( P\wedge Q\right) \leftrightarrow \lnot P\vee \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & & & & & & \\ \hline
1 & 0 & & & & & & \\ \hline
0 & 1 & & & & & & \\ \hline
0 & 0 & & & & & & \\ \hline
\end{array}$$