命題論理における同等

同等の値

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\leftrightarrow \)を作用させることで得られる、\begin{equation*}A\leftrightarrow B
\end{equation*}もまた論理式です。\(\leftrightarrow \)は同等（equivalent）と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\leftrightarrow B\)を\(A\)と\(B\)の同等（equivalent of \(A\) and B）と呼びます。これは「\(A\)のとき、かつそのときに限り\(B\)である（\(A\) if and only if \(B\)）」という表現に対応する論理式です。

同等の解釈

同等\(A\leftrightarrow B\)の値は\(A\)と\(B\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表によって定義します。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\leftrightarrow B \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

つまり、同等\(\leftrightarrow \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、\(A\)と\(B\)の値が一致する場合にのみ\(1\)を値としてとる論理式\(A\leftrightarrow B\)を出力する論理演算です。\(A\)と\(B\)の値が異なる場合、\(A\leftrightarrow B\)の値は\(0\)です。

論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式であるため、これらもまた同等\(\leftrightarrow \)を作用させる対象となります。同等の定義より、\(P,T,F\)とそれらの同等の真理値の組み合わせは以下のように定まります。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & T & F & P\leftrightarrow T & P\leftrightarrow F & T\leftrightarrow F \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

同等と否定・論理積・論理和の関係

論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の真理値表を得ます。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
A & B & A\rightarrow B & B\rightarrow A & \left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) & A\leftrightarrow B \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

上の真理値表より、同等\(A\leftrightarrow B\)の値は論理式\begin{equation*}\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right)
\end{equation*}の値と常に一致します。この事実は、同等\(\leftrightarrow \)は含意\(\rightarrow \)と論理積\(\wedge \)から間接的に定義可能であることを意味します。加えて、含意\(A\rightarrow B\)と論理式\(\lnot A\vee B\)の真理値は常に一致するため、含意\(\rightarrow \)は否定\(\lnot \)と論理和\(\vee \)から間接的に定義可能です。以上を踏まると、否定と論理積と論理和さえ定義されていれば、同等を新たな論理演算として定義する必要はありません。とは言え、同等を独立した論理演算として定義しておくと何かと便利ですので、本稿ではこのまま\(\leftrightarrow \)を採用します。

演習問題