論理和の値

命題変数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{彼はテレビを見る}
\\
Q &:&\text{彼は勉強する}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\vee Q &:&\text{彼はテレビを見るか、または勉強する} \\
\lnot P\vee Q &:&\text{彼はテレビを見ないか、または勉強する} \\
P\vee \lnot Q &:&\text{彼はテレビを見るか、または勉強しない} \\
\lnot P\vee \lnot Q &:&\text{彼はテレビを見ないか、または勉強しない}
\end{eqnarray*}などとなります。

命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、その論理和\(P\vee Q\)は論理式であるため、さらにそれと命題変数\(R\)の論理積\(\left( P\vee Q\right) \vee R\)もまた論理式です。それらの真理値について、

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & P\vee Q & \left( P\vee Q\right) \vee R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

という関係が成り立ちます。

命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、否定\(\lnot \)や論理和\(\vee \)の定義より、\(P\vee Q\)や\(\lnot P\vee Q\)や\(P\vee \lnot Q\)はいずれも論理式であり、それらの真理値について、

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\vee Q & \lnot P\vee Q & P\vee \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

という関係が成り立ちます。

命題変数\(P,Q,R\)が与えられたとき、否定\(\lnot \)や論理積\(\wedge \)、そして論理和\(\vee \)の定義より、\(\left( \lnot P\wedge Q\right) \vee \lnot R\)は論理式であり、その真理値について、

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & \lnot P & \lnot R & \lnot P\wedge Q & \left( \lnot P\wedge Q\right) \vee \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

という関係が成り立ちます。