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PROPOSITIONAL LOGIC

命題論理における論理和

目次

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論理式の論理和

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\vee \)を作用させることで得られる\(A\vee B\)もまた論理式です。\(\vee \)は論理和(logical sum)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\vee B\)を\(A\)と\(B\)の論理和(logical sum of \(A\) and \(B\))や\(A\)または\(B\)(\(A\) or \(B\))などと呼びます。

例(論理和)
命題変数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{彼はテレビを見る}
\\
Q &:&\text{彼は勉強する}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\vee Q &:&\text{彼はテレビを見るか、または勉強する} \\
\lnot P\vee Q &:&\text{彼はテレビを見ないか、または勉強する} \\
P\vee \lnot Q &:&\text{彼はテレビを見るか、または勉強しない} \\
\lnot P\vee \lnot Q &:&\text{彼はテレビを見ないか、または勉強しない}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

論理和の値

論理和\(A\vee B\)の値は\(A\)と\(B\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表に定めます。つまり、論理和\(\vee \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、それらの少なくとも 1 つの値が\(1\)である場合にのみ\(1\)を値としてとる論理式\(A\vee B\)を出力する論理演算です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\vee B \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理和の値

日常生活において「\(A\)または\(B\)」という場合、\(A\)か\(B\)のどちらか一方だけが真というニュアンスで解釈されることがありますが、命題論理において「\(A\)または\(B\)」という場合、それは\(A\)と\(B\)の少なくとも一方が真であるという意味になります。つまり、\(A\)か\(B\)のどちらか一方だけが真である場合に加え、\(A\)と\(B\)がともに真である場合にも、「\(A\)または\(B\)」という主張は真になります。

論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式であるため、これらもまた\(\vee \)を作用させる対象となり得ます。\(P,T,F\)とそれらの論理和の真理値の対応規則は以下の真理値表の通りです。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & T & F & P\vee T & P\vee F & T\vee F \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理和の値
例(論理和の値)
命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、その論理和\(P\vee Q\)は論理式であるため、さらにそれと命題変数\(R\)の論理積\(\left( P\vee Q\right) \vee R\)もまた論理式です。それらの真理値について、

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & P\vee Q & \left( P\vee Q\right) \vee R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理和の値

という関係が成り立ちます。

例(論理和の値)
命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、否定\(\lnot \)や論理和\(\vee \)の定義より、\(P\vee Q\)や\(\lnot P\vee Q\)や\(P\vee \lnot Q\)はいずれも論理式であり、それらの真理値について、

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\vee Q & \lnot P\vee Q & P\vee \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理和の値

という関係が成り立ちます。

例(論理和の値)
命題変数\(P,Q,R\)が与えられたとき、否定\(\lnot \)や論理積\(\wedge \)、そして論理和\(\vee \)の定義より、\(\left( \lnot P\wedge Q\right) \vee \lnot R\)は論理式であり、その真理値について、

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & \lnot P & \lnot R & \lnot P\wedge Q & \left( \lnot P\wedge Q\right) \vee \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理和の値

という関係が成り立ちます。

 

演習問題

問題(論理式の定式化)
以下の言明をそれぞれ論理式として定式化してください。

  1. 夫が仕事中だが妻はそうではないか、または妻が仕事中で夫はそうではない。
  2. 加藤と鈴木の少なくとも一方は在宅中です。
  3. 加藤と鈴木のうちの一方だけが在宅中です。
  4. 彼は土曜または日曜に出勤します。
  5. \(x\)と\(y\)の少なくとも一方が\(0\)である。
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問題(問題式の定式化)
命題変数\(P,Q,R\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{鈴木は試験に受かった} \\
Q &:&\text{加藤は試験に受けった} \\
R &:&\text{高橋は試験に受かった}
\end{eqnarray*}とおきます。このとき、以下の主張をそれぞれ論理式として定式化してください。

  1. 3人の中で1人だけが試験に受かった。
  2. 3人の中で少なくとも1人が試験に受かった。
  3. 3人の中で少なくとも2人が試験に受かった。
  4. 3人の中で2人が試験に受かった。
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問題(論理和の意味)
「授業料を払うか、または退学処分になる」という言明を題材に、日常における「または」の意味と、数学における「または」の意味の違いを説明してください。
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問題(真理値表)
以下の真理値表を完成させてください。

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & T & F & P\wedge Q & \left( P\wedge Q\right) \vee T & \left( P\wedge Q\right) \vee F \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & & & \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & & & \\ \hline
\end{array}$$

表:真理値表
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問題(真理値表)
以下の真理値表を完成させてください。
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & T & F & P\vee Q & \left( P\vee Q\right) \wedge T & \left( P\vee Q\right) \wedge F \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & & & \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & & & \\ \hline
\end{array}$$

表:真理値表
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問題(論理積)
「\(2\)は偶数または\(4\)は奇数である」という主張を論理式として定式化した上で、その真偽を判定してください。
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問題(論理積)
「\(2\)は偶数または\(4\)は奇数ではない」という主張を論理式として定式化した上で、その真偽を判定してください。
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次回は排他的論理和の解釈について学びます。

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