二重否定除去

論理式 A に対して、「Aではないことはない」という前提から「Aである」という結論を導く推論規則を二重否定除去と呼びます。
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二重否定除去

論理式\(A\)を任意に選んだとき、\begin{align*}
\lnot \lnot A\rightarrow A& \Leftrightarrow \lnot \lnot \lnot A\vee A\quad
\because \ \rightarrow \text{の言い換え} \\
& \Leftrightarrow \lnot A\vee A\quad \because \text{二重否定} \\
& \Leftrightarrow \top \quad \because \text{排中律}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\lnot \lnot A\Rightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(二重否定除去)
任意の論理式\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\lnot \lnot A\ \models \ A
\end{equation*}
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つまり、論理式\(A\)の二重否定\(\lnot \lnot A\)が真であるような任意の解釈において\(A\)は必ず真になります。この推論規則を二重否定除去(double negation elimination)と呼びます。

例(二重否定除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は週末ではないことはない。} \\
&&\text{ゆえに、今日は週末である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P\)を、\begin{equation*}
P:\text{今日は週末である}
\end{equation*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
\lnot \lnot P\ \therefore \ P
\end{equation*}と定式化されます。二重否定除去より、これは妥当な推論です。
例(二重否定除去)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\ \therefore \ \lnot \left( P\wedge \lnot Q\right) \rightarrow Q
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
P,\ \lnot \left( P\wedge \lnot Q\right) \ \therefore \ Q
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(P\)と\(\lnot \left( P\wedge \lnot Q\right) \)が真であるものとします。\(\lnot \left( P\wedge \lnot Q\right) \)が真であるとき、ド・モルガンの法則より\(\lnot P\vee \lnot \lnot Q\)は真です。\(P\)が真であるとき、\(\lnot P\)は偽です。つまり、\(\lnot P\vee \lnot \lnot Q\)は真で\(\lnot P\)が偽ですが、このとき、\(\vee \)の定義より\(\lnot \lnot Q\)は真です。したがって、二重否定除去より\(Q\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P\ \models \ \lnot \left( P\wedge \lnot Q\right) \rightarrow Q
\end{equation*}が成り立ちます。

 

二重否定除去の一般化

二重否定除去より、任意の論理式\(A\)について、\begin{equation*}
\lnot \lnot A\ \models \ A
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(A\)として論理式\(\lnot A\)を採用すれば、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot A\ \models \ \lnot A
\end{equation*}を得ますし、\(A\)として論理式\(\lnot \lnot \)を採用すれば、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot \lnot A\ \models \ \lnot \lnot A
\end{equation*}を得ます。以降についても同様です。

例(二重否定除去)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\lnot \lnot P\ \therefore \ \lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot
\lnot Q\right) \right) \rightarrow Q
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\lnot \lnot P,\ \lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot \lnot Q\right)
\right) \ \therefore \ Q
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\lnot \lnot P\)と\(\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot \lnot Q\right) \right) \)がともに真であるものとします。ド・モルガンの法則より、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot \lnot Q\right) \right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot \lnot P\wedge \lnot \lnot \lnot
Q\right) \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot \lnot P\vee \lnot \lnot \lnot \lnot Q
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot \lnot Q\right) \right) \)が真であるとき、\(\lnot \lnot \lnot P\)と\(\lnot \lnot \lnot \lnot Q\)の少なくとも一方は真です。また、\(\lnot \lnot P\)が真であるとき、その否定である\(\lnot \lnot \lnot P\)は偽です。したがって\(\lnot \lnot \lnot \lnot Q\)は真ですが、二重否定より、\begin{eqnarray*}
\lnot \lnot \lnot \lnot Q &\Leftrightarrow &\lnot \lnot Q \\
&\Leftrightarrow &Q
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、これは\(Q\)が真であることを意味します。したがって、もとの推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
\lnot \lnot P\ \models \ \lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot \lnot
Q\right) \right) \rightarrow Q
\end{equation*}が成り立ちます。

次回は二重否定導入と呼ばれる推論規則について学びます。
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