命題論理における二重否定除去

任意の論理式\(A\)に対して、\begin{equation*}\lnot \lnot A\ \models \ A
\end{equation*}が成り立つ。

命題変数\(P\)を任意に選びます。命題変数は論理式であるため、二重否定除去より、\begin{equation*}\lnot \lnot P\ \models \ P
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、\(\lnot \lnot P\)が真である場合には\(P\)が真であることを意味します。同時に、\(P\)が偽である場合には\(\lnot \lnot P\)が偽であることも意味します。

命題変数\(P,Q\)を任意に選んだとき、これらの含意\begin{equation*}P\rightarrow Q
\end{equation*}は論理式であるため、二重否定除去より、\begin{equation*}
\lnot \lnot \left( P\rightarrow Q\right) \ \models \ P
\end{equation*}が成り立ちます。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は週末ではないことはない。} \\
&&\text{ゆえに、今日は週末である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P\)を、\begin{equation*}P:\text{今日は週末である}
\end{equation*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
\lnot \lnot P\ \therefore \ P
\end{equation*}と定式化されます。二重否定除去よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
\lnot \lnot P\ \models \ P \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。これは\(\lnot \lnot P\)が真であるような状況において\(P\)が必ず真になることを意味します。

論理式\(A,B\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\ \therefore \ \lnot \left( A\wedge \lnot B\right) \rightarrow B
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
A,\ \lnot \left( A\wedge \lnot B\right) \ \therefore \ B
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(A\)と\(\lnot \left( A\wedge \lnot B\right) \)がともに真であるものとします。\(\lnot \left( A\wedge \lnot B\right) \)が真であるとき、ド・モルガンの法則より\(\lnot A\vee \lnot\lnot B\)は真です。\(A\)が真であるとき\(\lnot A\)は偽です。つまり、\(\lnot A\vee \lnot \lnot B\)は真で\(\lnot A\)が偽ですが、このとき、\(\vee \)の定義より\(\lnot \lnot B\)は真です。したがって、二重否定除去より\(B\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\ \models \ \lnot \left( A\wedge \lnot B\right) \rightarrow B
\end{equation*}が成り立ちます。

論理式\(A\)と番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\(A\)の\(n\)重否定を、\begin{equation*}\lnot ^{n}A
\end{equation*}で表記する。このとき、以下の推論規則\begin{equation*}
\lnot ^{n}A\ \models \ \left\{
\begin{array}{cc}
\lnot A & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
A & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

命題変数\(P\)を任意に選びます。命題変数は論理式であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lnot ^{n}P\ \models \ \left\{
\begin{array}{cc}
\lnot P & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
P & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立ちます。

論理式\(A,B\)に関する以下の推論\begin{equation*}\lnot \lnot A\ \therefore \ \lnot \left( \lnot \left( \lnot A\vee \lnot
\lnot B\right) \right) \rightarrow B
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\lnot \lnot A,\ \lnot \left( \lnot \left( \lnot A\vee \lnot \lnot B\right)
\right) \ \therefore \ B
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\lnot \lnot A\)と\(\lnot \left( \lnot \left( \lnot A\vee \lnot \lnot B\right)\right) \)がともに真であるものとします。ド・モルガンの法則より、\begin{eqnarray*}\lnot \left( \lnot \left( \lnot A\vee \lnot \lnot B\right) \right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot \lnot A\wedge \lnot \lnot \lnot
B\right) \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot \lnot A\vee \lnot \lnot \lnot \lnot B
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(\lnot \left( \lnot\left( \lnot A\vee \lnot \lnot B\right) \right) \)が真であるとき、\(\lnot \lnot \lnot A\)と\(\lnot\lnot \lnot \lnot B\)の少なくとも一方は真です。ただ、\(\lnot \lnot A\)が真であるとき、その否定である\(\lnot \lnot\lnot A\)は偽です。したがって\(\lnot \lnot \lnot \lnot B\)は真です。すると二重否定除去より\(\lnot \lnot B\)は真であり、さらに二重否定除去より\(B\)は真です。したがって、もとの推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}\lnot \lnot A\ \models \ \lnot \left( \lnot \left( \lnot A\vee \lnot \lnot
B\right) \right) \rightarrow B
\end{equation*}が成り立ちます。

選言導入とは、任意の論理式\(A\)に対して、\begin{equation*}\lnot \lnot A\ \models \ A
\end{equation*}が成り立つという推論規則です。本文中では以上の主張が成り立つことを真理値を用いて証明しましたが、同じことを同値変形を用いて証明してください。

任意の論理式\(A,B\)について、\begin{equation*}\lnot \left( A\rightarrow B\right) \ \models \ A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。