命題論理における後件否定

論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*} A\rightarrow B,\ \lnot B\ \models \ \lnot A
\end{equation*}が成り立つ。

命題変数\(P,Q\)を任意に選びます。命題変数は論理式であるため、後件否定より、\begin{equation*} P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \models \ \lnot P
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(P\rightarrow Q\)と\(\lnot Q\)が真である場合には\(\lnot P\)は真になります。同時にこれは、\(\lnot P\)が偽である場合には\(P\rightarrow Q\)または\(\lnot Q\)の少なくとも一方が偽であることも意味します。

命題変数\(P,Q,R\)を任意に選びます。以下の論理式\begin{eqnarray*} P &\rightarrow &Q \\
Q &\rightarrow &R
\end{eqnarray*}に注目すると、後件否定より、\begin{equation*}
\left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow \left( Q\rightarrow R\right) ,\
\lnot \left( Q\rightarrow R\right) \ \models \ \lnot \left( P\rightarrow
Q\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow \left( Q\rightarrow R\right) \)と\(\lnot \left( Q\rightarrow R\right) \)が真である場合には\(\lnot \left( P\rightarrow Q\right) \)は真になります。同時にこれは、\(\lnot \left( P\rightarrow Q\right) \)が偽である場合には\(\left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow \left( Q\rightarrow R\right) \)または\(\lnot \left( Q\rightarrow R\right) \)の少なくとも一方が偽であることも意味します。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{彼がこの事件の犯人ならば、犯行時刻に現場にいたはずである。} \\
&&\text{彼は犯行時刻に現場にいなかった。} \\
&&\text{ゆえに、彼はこの事件の犯人ではない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*} P &:&\text{彼はこの事件の犯人である} \\
Q &:&\text{彼は犯行時刻に現場にいた}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \therefore \ \lnot P
\end{equation*}と定式化されます。後件否定よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \models \ \lnot P \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。では、「彼が犯人であるにも関わらず犯行時刻に現場にいなかった」場合には何が起きているでしょうか。「彼が犯人である」ことは\(P\)が真（\(\lnot P\)が偽）であることを意味し、「彼が犯行時刻に現場にいなかった」ことは\(Q\)が偽（\(\lnot Q\)が真）であることを意味します。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、推論の結論である\(\lnot P\)が偽である場合、推論の前提である\(P\rightarrow Q\)または\(\lnot Q\)の少なくとも一方が偽です。今は\(\lnot Q\)が真である場合について考えているため\(P\rightarrow Q\)が偽でなければなりません。つまり、「彼が犯人であるにも関わらず犯行時刻に現場にいなかった」場合には「犯人ならば犯行現場にいたはず」という理屈そのものが間違っているという結論になります。例えば、彼が何らかの時限装置を用いて犯行に及んだ場合がそのようなケースに該当します。

論理式\(A,B\)について、\begin{equation*} A\rightarrow B,\ \lnot A\ \not\models \ \lnot B
\end{equation*}が成り立つ。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{彼がこの事件の犯人ならば、犯行時刻に現場にいたはずである。} \\
&&\text{彼はこの事件の犯人ではない。} \\
&&\text{ゆえに、彼は犯行時刻に現場にいなかったはずである。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*} P &:&\text{彼はこの事件の犯人である} \\
Q &:&\text{彼は犯行時刻に現場にいた}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot P\ \therefore \ \lnot Q
\end{equation*}と定式化されます。これは前件否定に相当する推論であるため妥当ではありません。実際、犯人とは別の人もまた犯行時刻に現場にいる状況は起こり得るため、彼が犯人ではないにも関わらず犯行現場にいた場合、\(P\)は偽で\(Q \)は真であるため、推論の前提である\(P\rightarrow Q\)と\(\lnot P\)がともに真である一方で、推論の結論である\(\lnot Q\)は偽です。

後件否定とは、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*} A\rightarrow B,\ \lnot B\ \models \ \lnot A
\end{equation*}が成り立つという推論規則です。本文中では後件否定が成り立つことを真理値を用いて示しましたが、同じことを同値変形で示してください。

以下の推論は妥当であるかそうでないか、理由とともに答えてください。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし私が有罪ならば、私は罰せられる。} \\
&&\text{私は罰せられていない。} \\
&&\text{ゆえに、私は有罪ではない。}
\end{eqnarray*}

以下の推論は妥当であるかそうでないか、理由とともに答えてください。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし私が有罪ならば、私は罰せられる。} \\
&&\text{私は有罪ではない。} \\
&&\text{ゆえに、私は罰せられない。}
\end{eqnarray*}

論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*} \left( A\wedge B\right) \rightarrow \lnot C,\ C\ \therefore \ \lnot A\vee
\lnot B
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*} A\rightarrow \lnot B,\ A\rightarrow C,\ C\rightarrow B\ \therefore \ \lnot A
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*} A\rightarrow B,\ B\rightarrow C,\ \lnot C\ \therefore \ \lnot A
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*} \left( A\vee B\right) \rightarrow C,\ \lnot C\ \therefore \ \lnot A\wedge
\lnot B
\end{equation*}が妥当であることを示してください。