後件否定
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の推論規則\begin{equation*}A\rightarrow B,\ \lnot B\ \models \ \lnot A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(\lnot B\)がともに真であるような任意の解釈のもとで\(\lnot A\)は必ず真になります。これは後件否定（denying the consequent）やモーダストレンス（modustollens）と呼ばれる推論規則です。
\end{equation*}が成り立つ。
後件否定\begin{equation}
A\rightarrow B,\ \lnot B\ \models \ \lnot A \quad \cdots (1)
\end{equation}は推論規則であるため、\(\left( 1\right) \)を構成する\(A,B\)にそれぞれどのような具体的な論理式\(\alpha,\beta \)を入れた場合においても、\begin{equation*}\alpha \rightarrow \beta ,\ \lnot \beta \ \models \ \lnot \alpha
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\alpha \rightarrow \beta \)と\(\lnot \beta \)がともに真である場合には\(\lnot \alpha \)は偽になります。同時に、\(\lnot \alpha \)が偽である場合には、\(\alpha \rightarrow\beta \)または\(\lnot \beta \)の少なくとも一方が偽になることが保証されます。なぜなら、仮に\(\alpha\rightarrow \beta \)と\(\lnot \beta \)がともに真である場合、後件否定\(\left( 1\right) \)より\(\lnot \alpha \)が真であることが導き出されますが、これは\(\lnot \alpha \)が偽であることと矛盾するからです。
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(P\rightarrow Q\)と\(\lnot Q\)が真である場合には\(\lnot P\)は真になります。同時にこれは、\(\lnot P\)が偽である場合には\(P\rightarrow Q\)または\(\lnot Q\)の少なくとも一方が偽であることも意味します。
Q &\rightarrow &R
\end{eqnarray*}に注目すると、否定導入より、\begin{equation*}
\left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow \left( Q\rightarrow R\right) ,\
\lnot \left( Q\rightarrow R\right) \ \models \ \lnot \left( P\rightarrow
Q\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow \left(Q\rightarrow R\right) \)と\(\lnot \left( Q\rightarrow R\right) \)が真である場合には\(\lnot\left( P\rightarrow Q\right) \)は真になります。同時にこれは、\(\lnot \left( P\rightarrow Q\right) \)が偽である場合には\(\left( P\rightarrow Q\right)\rightarrow \left( Q\rightarrow R\right) \)または\(\lnot\left( Q\rightarrow R\right) \)の少なくとも一方が偽であることも意味します。
&&\text{彼がこの事件の犯人ならば、犯行時刻に現場にいたはずである。} \\
&&\text{彼は犯行時刻に現場にいなかった。} \\
&&\text{ゆえに、彼はこの事件の犯人ではない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{彼はこの事件の犯人である} \\
Q &:&\text{彼は犯行時刻に現場にいた}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \therefore \ \lnot P
\end{equation*}と定式化されます。後件否定よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \models \ \lnot P \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。では、「彼が犯人であるにも関わらず犯行時刻に現場にいなかった」場合には何が起きているでしょうか。「彼が犯人である」ことは\(P\)が真（\(\lnot P\)が偽）であることを意味し、「彼が犯行時刻に現場にいなかった」ことは\(Q\)が偽（\(\lnot Q\)が真）であることを意味します。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、推論の結論である\(\lnot P\)が偽である場合、推論の前提である\(P\rightarrow Q\)または\(\lnot Q\)の少なくとも一方が偽です。今は\(\lnot Q\)が真である場合について考えているため\(P\rightarrow Q\)が偽でなければなりません。つまり、「彼が犯人であるにも関わらず犯行時刻に現場にいなかった」場合には「犯人ならば犯行現場にいたはず」という理屈そのものが間違っているという結論になります。例えば、彼が何らかの時限装置を用いて犯行に及んだ場合がそのようなケースに該当します。
前件否定
含意の後件を否定する後件否定は妥当である一方で、含意の前件を否定する前件否定（denying the antecedent）は妥当ではありません。つまり、\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ \lnot A\ \not\models \ \lnot B
\end{equation*}となります（演習問題）。\(A\rightarrow B\)と\(\lnot A\)がともに真である状況において\(\lnot B\)が必ず真になることを保証できないということです。
\end{equation*}が成り立つ。
&&\text{彼がこの事件の犯人ならば、犯行時刻に現場にいたはずである。} \\
&&\text{彼はこの事件の犯人ではない。} \\
&&\text{ゆえに、彼は犯行時刻に現場にいなかったはずである。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{彼はこの事件の犯人である} \\
Q &:&\text{彼は犯行時刻に現場にいた}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot P\ \therefore \ \lnot Q
\end{equation*}と定式化されます。これは前件否定に相当する推論であるため妥当ではありません。実際、犯人とは別の人もまた犯行時刻に現場にいる状況は起こり得るため、彼が犯人ではないにも関わらず犯行現場にいた場合、\(P\)は偽で\(Q\)は真であるため、推論の前提である\(P\rightarrow Q\)と\(\lnot P\)がともに真である一方で、推論の結論である\(\lnot Q\)は偽です。
演習問題
\end{equation*}が成り立つという推論規則です。本文中では後件否定が成り立つことを真理値を用いて示しましたが、同じことを同値変形で示してください。
&&\text{もし私が有罪ならば、私は罰せられる。} \\
&&\text{私は罰せられていない。} \\
&&\text{ゆえに、私は有罪ではない。}
\end{eqnarray*}
&&\text{もし私が有罪ならば、私は罰せられる。} \\
&&\text{私は有罪ではない。} \\
&&\text{ゆえに、私は罰せられない。}
\end{eqnarray*}
\lnot B
\end{equation*}が妥当であることを示してください。
\end{equation*}が妥当であることを示してください。
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