論理式 A とその否定 ¬A がともに真である場合には恒偽式が導かれます。これは否定除去と呼ばれる推論規則です。
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否定除去

論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に任意に選んだとき、\begin{align*}
\left( A\wedge \lnot A\right) \rightarrow \bot & \Leftrightarrow \lnot
\left( A\wedge \lnot A\right) \vee \bot \quad \because \ \rightarrow \text{の言い換え} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( A\wedge \lnot A\right) \quad \because \text{恒偽式}\bot \text{の性質} \\
& \Leftrightarrow \left( \lnot A\vee \lnot \lnot A\right) \quad \because
\text{ド・モルガンの法則} \\
& \Leftrightarrow A\vee \lnot A\quad \because \text{交換律、二重否定} \\
& \Leftrightarrow \top \quad \because \text{排中律}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\wedge \lnot A\right) \Rightarrow \bot
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(否定除去)
任意の論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A,\ \lnot A\ \models \ \bot
\end{equation*}
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つまり、論理式とその否定の論理積から恒偽式を導くことができます。この推論規則を否定除去(negation elimination)と呼びます。

例(否定除去)
命題定数\(F\)は典型的な恒偽式です。したがって、否定除去より、任意の命題変数\(P\)について、\begin{equation*}
P,\ \lnot P\ \models \ F
\end{equation*}という推論規則が成り立ちます。
例(否定除去)
命題変数\(P,Q\)と命題定数\(F\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \therefore \ P\rightarrow F
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q,\ P\ \therefore \ F
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(P\rightarrow Q\)と\(\lnot Q\)と\(P\)がいずれも真であるものとします。\(P\rightarrow Q\)と\(P\)が真であるとき、含意除去より\(Q\)は真です。\(Q\)と\(\lnot Q\)が真であるとき、否定除去より\(F\)が導かれます。以上で先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \models \ P\rightarrow F
\end{equation*}が成り立ちます。

次回は否定導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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