含意
論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\rightarrow \)を作用させることで得られる、\begin{equation*}A\rightarrow B
\end{equation*}もまた論理式です。\(\rightarrow \)は含意（implication）と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\rightarrow B\)を\(A\)から\(B\)への含意（implication from \(A\) to \(B\)）と呼びます。これは「\(A\)ならば\(B\)（if \(A\) then \(B\)）」という表現に対応する論理式です。
含意\(A\rightarrow B\)を構成する\(A\)を前件（antecedent）や前提（premise）、仮定（assumption）などと呼び、\(B\)を後件（consequent）や結論（conclusion）などと呼びます。
Q &:&\text{彼は犯行時刻に現場にいた}
\end{eqnarray*}とおくと、「彼がこの事件の犯人ならば、犯行時刻に現場にいたはずである」という主張は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q
\end{equation*}として、「彼は犯行時刻に現場にいたため、この事件の犯人である」という主張は、\begin{equation*}
Q\rightarrow P
\end{equation*}としてそれぞれ定式化されます。
Q &:&\text{私は傘を持っていく} \\
R &:&\text{私は雨に濡れる}
\end{eqnarray*}とおくと、与えられた言明は、\begin{equation*}
P\wedge \lnot Q\rightarrow R
\end{equation*}と定式化されます。
Q &:&\text{高橋は明日来る} \\
R &:&\text{鈴木は明日来る}
\end{eqnarray*}とおくと、「明日、加藤が来るならば、高橋と鈴木も来る」という主張は、\begin{equation*}
P\rightarrow \left( Q\wedge R\right)
\end{equation*}として、「明日、高橋と鈴木が来ないなら、加藤は来る」という主張は、\begin{equation*}
\left( \lnot Q\wedge \lnot R\right) \rightarrow P
\end{equation*}として、また、「明日、加藤が来ないなら高橋が来るが、加藤が来るなら鈴木が来ない」という主張は、\begin{equation*}
\left( \lnot P\rightarrow Q\right) \wedge \left( P\rightarrow \lnot R\right)
\end{equation*}としてそれぞれ定式化されます。
含意の解釈
含意\(A\rightarrow B\)の値は\(A\)と\(B\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表によって定義します。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\rightarrow B \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
つまり、含意\(\rightarrow \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、\(A\)の値が\(1\)の場合には\(B\)の値もまた\(1\)である場合にのみ\(1\)を値としてとる一方で、\(A\)の値が\(0\)の場合には\(B\)の値によらず常に\(1\)を値としてとる論理式\(A\rightarrow B\)を出力する論理演算です。
論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式であるため、これらもまた含意\(\rightarrow \)を作用させる対象となります。含意の定義より、\(P,T,F\)とそれらの含意の真理値の組合せは以下のように定まります。
$$\begin{array}{ccccccccc}
\hline
P & T & F & P\rightarrow T & T\rightarrow P & P\rightarrow F & F\rightarrow P & T\rightarrow F & F\rightarrow T \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & P\rightarrow Q & \left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
が成り立ちます。
$$\begin{array}{ccccccc}\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\rightarrow Q & \lnot P\rightarrow Q & P\rightarrow \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
という関係が成り立ちます。
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & \lnot P & \lnot R & \lnot P\wedge Q & \left( \lnot P\wedge Q\right) \rightarrow \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
が成り立ちます。
含意の日常的な用法
日常生活において「\(A\)ならば\(B\)」と言うときには、\(A\)と\(B\)の間には何らかの意味上の関連性があります。例えば、「明日雨が降るならば、私は傘を持っていく」と言うとき、「明日雨が降る」ことと「私は傘を持っていく」ことの間には意味上の関連があります。\(A\)と\(B\)の間に意味上の関連がない場合には、我々は違和感を持ちます。例えば、「明日雨が降るならば、彼の身長は\(180\mathrm{cm}\)よりも低い」と言われても困惑してしまいます。一方、命題論理における含意\(A\rightarrow B\)では、\(A\)と\(B\)の意味上の関連性については何も問いません。\(A\)と\(B\)が論理式であれば、それが具体的に何に関する言及であっても、\(A\rightarrow B\)は論理式として認められます。
日常生活において「\(A\)ならば\(B\)」と言う場合には、多くの場合、原因\(A\)が結論\(B\)よりも時間的に先行する表現になっています。例えば、「雨が降るなら傘を持っていく」という表現は、雨が降るという原因が先に起こり、傘を持っていくという結論が後に起こる構造になっています。一般に、原因\(A\)が結論\(B\)よりも時間的に先行する場合には、両者の関係を因果関係（causal relationship）と呼び、因果関係を表す\(A\rightarrow B\)を因果命題（causal proposition）と呼びます。日常生活における「ならば」は、多くの場合には因果関係を示しています。一方、数学における含意は因果関係に限定されず、時間的な前後関係が成立しない\(A,B\)に対しても論理式\(A\rightarrow B\)を構成します。
日常的に使われる「ならば」の意味を、命題論理における含意の定義と整合的な形で以下のように解釈できます。ある人の「明日雨が降るなら傘を持っていく」という発言を論理式\(A\rightarrow B\)とみなした上で、含意の定義である以下の真理値表を再び観察しましょう。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\rightarrow B \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
真理値表の1行目は、雨が振り、かつ、この人が傘を持参する場合には、この人の発言は嘘とはみなされないこととして解釈可能です。これは実際に正しい言明です。真理値表の2行目は、雨が降り、かつ、この人が傘を持参しない場合には、この人の発言は嘘とみなされることとして解釈可能です。これも実際に正しい言明です。真理値表の3行目と4行目は、雨が降らなかった場合には、この人が傘を持っていくかどうかに関わらず、この人の発言は嘘とはみなされないこととして解釈します。実際、この人の発言は雨が降った場合のことについてのみ言及しており、雨が降らなかった場合については何も言っていません。したがって、雨が降らなかった場合には、この人が傘を持っていくかどうかにかかわらず、この人は嘘をついたことにはなりません。
\end{equation}は真と偽のどちらでしょうか。実数\(x\)に対して\(x^{2}\geq 0\)が成り立つため、\(\left( 1\right) \)の前提である\(x^{2}<0\)は偽です。含意\(\rightarrow \)の定義より、\(x^{2}<0\)が偽の場合には、\(x>1\)の真偽とは関係なく\(\left(1\right) \)は必ず真になります。以上より、\(\left( 1\right) \)は真であることが明らかになりました。\(\left( 1\right) \)の結論\(x>1\)を任意の論理式に入れ替えた場合にも同様の議論が成り立つため、\begin{eqnarray*}x^{2} &<&0\rightarrow x=1 \\
x^{2} &<&0\rightarrow x<0 \\
x^{2} &<&0\rightarrow \text{富士山は}3000\text{メートルより低い}
\end{eqnarray*}などはいずれも真です。
含意と否定・論理和の関係
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の真理値表を得ます。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\rightarrow B & \lnot A\vee B \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
上の真理値表より、含意\(A\rightarrow B\)の値は論理式\begin{equation*}\lnot A\vee B
\end{equation*}の値と常に一致します。この事実は、含意\(\rightarrow \)は否定\(\lnot \)と論理和\(\vee \)から間接的に定義可能であることを意味します。したがって、否定と論理和さえ定義されていれば、含意を新たな論理演算として定義する必要はありません。とは言え、含意を独立した論理演算として定義しておくと何かと便利ですので、本稿ではこのまま\(\rightarrow \)を採用します。
演習問題
Q &:&\text{妻はショッピングをする} \\
R &:&\text{夫は幸せである}
\end{eqnarray*}とおきます。このとき、以下の主張をそれぞれ論理式として定式化してください。
- 妻が幸せで、なおかつショッピングをしないならば、夫は幸せである。
- 妻が幸せでないならば、彼女はショッピングをする。
- 妻が幸せなのはショッピングをするときだ。
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & F & F\vee Q & P\rightarrow F\vee Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & & \\ \hline
1 & 0 & 0 & & \\ \hline
0 & 1 & 0 & & \\ \hline
0 & 0 & 0 & & \\ \hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & P\wedge Q & \lnot \left( P\wedge Q\right) & \lnot R
& \lnot \left( P\wedge Q\right) \vee \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & & & & \\ \hline
1 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
1 & 0 & 1 & & & & \\ \hline
1 & 0 & 0 & & & & \\ \hline
0 & 1 & 1 & & & & \\ \hline
0 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
0 & 0 & 1 & & & & \\ \hline
0 & 0 & 0 & & & & \\ \hline
\end{array}$$
\end{equation*}という解釈のもとで、以下の論理式の値が\(0\)と\(1\)のどちらであるかそれぞれ明らかにしてください。
- \(\left( P\rightarrow Q\right) \vee \lnot \left( R\wedge Q\right) \)
- \(\left( \lnot P\vee \lnot Q\right) \rightarrow \left( P\vee \lnot R\right) \)
- \(\lnot \left( \lnot P\rightarrow \lnot Q\right) \wedge R\)
- \(\lnot \left( \lnot P\rightarrow Q\wedge \lnot R\right) \)
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