二重否定の法則
論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)もまた論理式であるため、さらにその否定\(\lnot\left( \lnot A\right) \)を考えることができます。これを\(\lnot \lnot A\)で表し\(A\)の二重否定（double negation）と呼びます。
以下の真理値表より、論理式とその二重否定は論理的に同値です。
$$\begin{array}{ccc}\hline
A & \lnot A & \lnot \lnot A \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
\end{equation*}が成り立つ。
\text{私は公共の場で喫煙するのは嫌いではない訳ではない}
\end{equation*}について考えます。このままではこの人は公共の場で喫煙することが好きなのか嫌いなのかがよく分かりません。そこで、命題変数\(P\)を、\begin{equation*}P:\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いだ}
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray*}
\lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない} \\
\lnot \lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない訳ではない}
\end{eqnarray*}となり、もとの主張は\(\lnot \lnot P\)となります。二重否定よりこれは\(P\)と論理的に同値であるため、この人は公共の場で喫煙することが嫌いであることが明らかになりました。
\end{equation*}が\(P\wedge Q\)と同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\lnot \left( \lnot P\vee \lnot Q\right) &\Leftrightarrow &\lnot \lnot
P\wedge \lnot \lnot Q\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため証明できました。
二重否定の一般化
論理式\(A\)の二重否定\(\lnot\lnot A\)は論理式であるため、その否定\(\lnot \lnot \lnot A\)や、さらにその否定\(\lnot \lnot\lnot \lnot A\)なども論理式です。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(\lnot A\)と同値になります。例えば、三重否定\(\lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}\lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ち、四重否定\(\lnot \lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}\lnot \lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。
\end{equation*}を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee Q\right) \right) \right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot P\vee Q\right) \quad \because \text{二重否定の法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \lnot Q\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \lnot Q\quad \because \text{二重否定の法則}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
次回は含意、同等、そして排他的論理和の同値表現について学びます。