二重否定

更新: 2020年7月3日
公開: 2018年11月28日
分野: 命題論理

要旨

論理式$A$の否定$\lnot A$もまた論理式ですから、さらにその否定$\lnot \left( \lnot A\right) $を考えることができます。これを$\lnot \lnot A$で表し$A$の二重否定と呼びます。

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二重否定

論理式$A$の否定$\lnot A$もまた論理式ですから、さらにその否定$\lnot \left( \lnot A\right) $を考えることができます。これを$\lnot \lnot A$で表し$A$の二重否定（double negation）と呼びます。

以下の真理値表より、論理式とその二重否定は論理的に同値です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & \lnot A & \lnot \lnot A \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表：二重否定

命題（二重否定）

任意の論理式$A$に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}

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例（二重否定）

人間の脳は二重否定を含む主張の処理が得意ではありません。例として、以下の主張\begin{equation*}
\text{私は公共の場で喫煙するのは嫌いではない訳ではない}
\end{equation*}について考えます。このままではこの人は公共の場で喫煙することが好きなのか嫌いなのかがよく分かりません。そこで、命題変数$P$を、\begin{equation*}
P:\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いだ}
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray*}
\lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない} \\
\lnot \lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない訳ではない}
\end{eqnarray*}となり、もとの主張は$\lnot \lnot P$となります。二重否定よりこれは$P$と論理的に同値であるため、この人は公共の場で喫煙することが嫌いであることが明らかになりました。

例（二重否定）

命題変数$P,Q$に関する論理式\begin{equation*}
\lnot \left( \lnot P\vee \lnot Q\right)
\end{equation*}が$P\wedge Q$と同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot P\vee \lnot Q\right) &\Leftrightarrow &\lnot \lnot
P\wedge \lnot \lnot Q\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため証明できました。

二重否定の一般化

論理式$A$の二重否定$\lnot \lnot A$は論理式であるため、その否定$\lnot \lnot \lnot A$や、さらにその否定$\lnot \lnot \lnot \lnot A$なども論理式です。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも$A$もしくは$\lnot A$と同値になります。例えば、三重否定$\lnot \lnot \lnot A$に関しては、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ち、四重否定$\lnot \lnot \lnot \lnot A$に関しては、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。

例（二重否定）

命題変数$P,Q$に関する論理式\begin{equation*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot Q\right) \right)
\end{equation*}を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee \lnot \lnot Q\right) \right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot \lnot P\wedge \lnot \lnot \lnot
Q\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot \lnot P\vee \lnot \lnot \lnot \lnot Q\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot P\vee Q\quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となります。

次回は含意、同等、そして排他的論理和の同値表現について学びます。
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