二重否定の法則
論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)もまた論理式であるため、さらにその否定\(\lnot\left( \lnot A\right) \)を考えることができます。これを\(\lnot \lnot A\)で表し\(A\)の二重否定（double negation）と呼びます。
以下の真理値表より、論理式とその二重否定は論理的に同値です。
$$\begin{array}{ccc}\hline
A & \lnot A & \lnot \lnot A \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
表：二重否定
命題（二重否定）
任意の論理式\(A\)に対して、\begin{equation*}\lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
例（二重否定）
人間の脳は二重否定を含む主張の処理が得意ではありません。例として、以下の主張\begin{equation*}
\text{私は公共の場で喫煙するのは嫌いではない訳ではない}
\end{equation*}について考えます。このままではこの人は公共の場で喫煙することが好きなのか嫌いなのかがよく分かりません。そこで、命題変数\(P\)を、\begin{equation*}P:\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いだ}
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray*}
\lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない} \\
\lnot \lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない訳ではない}
\end{eqnarray*}となり、もとの主張は\(\lnot \lnot P\)となります。二重否定よりこれは\(P\)と論理的に同値であるため、この人は公共の場で喫煙することが嫌いであることが明らかになりました。
\text{私は公共の場で喫煙するのは嫌いではない訳ではない}
\end{equation*}について考えます。このままではこの人は公共の場で喫煙することが好きなのか嫌いなのかがよく分かりません。そこで、命題変数\(P\)を、\begin{equation*}P:\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いだ}
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray*}
\lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない} \\
\lnot \lnot P &:&\text{私は公共の場で喫煙するのが嫌いではない訳ではない}
\end{eqnarray*}となり、もとの主張は\(\lnot \lnot P\)となります。二重否定よりこれは\(P\)と論理的に同値であるため、この人は公共の場で喫煙することが嫌いであることが明らかになりました。
例（二重否定）
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\begin{equation*}\lnot \left( \lnot P\vee \lnot Q\right)
\end{equation*}が\(P\wedge Q\)と同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\lnot \left( \lnot P\vee \lnot Q\right) &\Leftrightarrow &\lnot \lnot
P\wedge \lnot \lnot Q\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため証明できました。
\end{equation*}が\(P\wedge Q\)と同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\lnot \left( \lnot P\vee \lnot Q\right) &\Leftrightarrow &\lnot \lnot
P\wedge \lnot \lnot Q\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため証明できました。
二重否定の一般化
論理式\(A\)の二重否定\(\lnot\lnot A\)は論理式であるため、その否定\(\lnot \lnot \lnot A\)や、さらにその否定\(\lnot \lnot\lnot \lnot A\)なども論理式です。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(\lnot A\)と同値になります。例えば、三重否定\(\lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}\lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ち、四重否定\(\lnot \lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}\lnot \lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。
例（二重否定）
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\begin{equation*}\lnot \left( \lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee Q\right) \right) \right)
\end{equation*}を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee Q\right) \right) \right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot P\vee Q\right) \quad \because \text{二重否定の法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \lnot Q\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \lnot Q\quad \because \text{二重否定の法則}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot \left( \lnot P\vee Q\right) \right) \right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot P\vee Q\right) \quad \because \text{二重否定の法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \lnot Q\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \lnot Q\quad \because \text{二重否定の法則}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（二重否定）
ある人が「私はあなたに反対するわけではないわけではない」と言いました。この人はあなたに反対ですか。議論してください。
問題（二重否定）
ある人が「大麻の使用罪を処罰範囲から除外する取り決めを撤廃する法案に対して私は賛成を投じない」と言いました。この人は大麻の使用を認めることに賛成ですか。議論してください。
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