既知の事柄を前提とした上で、未知の事柄に関して結論を導き出すことを推論と呼びます。また、前提がすべて真である場合に結論が必ず真であるならば、その推論は妥当であると言います。妥当な推論を推論式と呼びます。
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推論

既知の事柄を前提(premise)とした上で、未知の事柄に関する結論(conclusion)を導き出すことを推論(inference)と呼びます。より正確には、推論とは、前提に相当する有限個の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真であるような任意の解釈において、結論に相当する論理式\(B\)が必ず真になるという主張であり、これを、\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \therefore \ B
\end{equation*}と定式化します。これを推論式(inference formula)と呼びます。以降では推論式とそれが表す推論と区別せずに、両者を推論と呼ぶこともあります。

前提を持たず結論\(B\)だけを持つ推論を考える際には、それを、\begin{equation*}
\therefore \ B
\end{equation*}と記述します。これは論理式\(B\)が恒真式であるという主張です。

 

妥当な推論:推論規則

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真であるような任意の解釈において結論\(B\)が必ず真であることが保証される場合、その推論は妥当である(valid)と言い、そのことを、\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B
\end{equation*}と表記します。これを推論規則(inference rule)と呼びます。

例(妥当な推論)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\vee Q,\ P\rightarrow Q\ \therefore \ Q
\end{equation*}について考えます。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
P & Q & P\vee Q & P\rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
表:妥当な推論

上の真理値表の1行目と3行目より、前提\(P\vee Q,\ P\rightarrow Q\)がともに真である場合には結論\(Q\)が真であることが保証されるため、この推論は妥当です。つまり、\begin{equation*}
P\vee Q,\ P\rightarrow Q\ \models \ Q
\end{equation*}が成り立ちます。

前提を持たず結論\(B\)だけを持つ推論が妥当であることを、\begin{equation*}
\models \ B
\end{equation*}と表記します。これは論理式\(B\)が恒真式であることを意味します。

例(妥当な推論)
命題変数\(P\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\therefore \ P\vee \lnot P
\end{equation*}について考えます。排中律より\(P\vee \lnot P\)は恒真式であるため、この推論は妥当です。つまり、\begin{equation*}
\models \ P\vee \lnot P
\end{equation*}が成り立ちます。

 

妥当ではない推論

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真であるとともに結論\(B\)が偽であるような解釈が存在する場合、その推論は妥当でない(invalid)と言い、そのことを、\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \not\models \ B
\end{equation*}と表記します。

例(妥当ではない推論)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\lnot P,\ P\rightarrow Q\ \therefore \ \lnot Q
\end{equation*}について考えます。
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
表:妥当ではない推論

上の真理値表の3行目より、前提\(\lnot P,\ P\rightarrow Q\)がともに真で結論\(\lnot Q\)が偽であるような解釈が存在するため、この推論は妥当ではありません。つまり、\begin{equation*}
\lnot P,\ P\rightarrow Q\ \not\models \ \lnot Q
\end{equation*}が成り立ちます。

前提を持たず結論\(B\)だけを持つ推論が妥当でないことを、\begin{equation*}
\not\models \ B
\end{equation*}と表記します。これは論理式\(B\)が恒真式でない(恒偽式もしくは事実式である)ことを意味します。

例(妥当ではない推論)
命題変数\(P\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\therefore \ P\wedge \lnot P
\end{equation*}について考えます。矛盾律より\(P\vee \lnot P\)は恒偽式であるため、この推論は妥当ではありません。つまり、\begin{equation*}
\not\models \ P\wedge \lnot P
\end{equation*}が成り立ちます。

 

推論規則を導く方法

推論の妥当性を示す方法はいくつか存在します。1 つ目の方法は、すべての前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が真であることを仮定した上で、結論\(B\)が真になることを示すというものです。

例(推論規則の導出)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ P\ \therefore \ Q
\end{equation*}について考えます。\(P\rightarrow Q\)と\(P\)がともに真であるものと仮定します。この場合、\(\rightarrow \)の定義より\(Q\)は真であるため、推論は妥当です。つまり、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ P\ \models \ Q
\end{equation*}が成り立ちます。

推論の妥当性を示すための2つ目の方法は、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)と結論\(B\)から以下の論理式\begin{equation}
\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\ \rightarrow \ B \tag{1}
\end{equation}を構成した上で、これが恒真式であること、すなわち、\begin{equation}
\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\ \Rightarrow \ B \tag{2}
\end{equation}が成り立つことを示すというものです。実際、\(\left( 2\right) \)を示すことに成功したとしましょう。前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真である場合には論理積の定義より\(\bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\)は真ですが、\(\left( 2\right) \)が成り立つとき、\(\Rightarrow \)の定義より\(B\)は真です。したがって推論は妥当です。逆に、推論が妥当であるとき、すなわち、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真であるような任意の解釈において結論\(B\)であることが保証されるとき、\(\left( 2\right) \)が成り立ちます。ゆえに、\(\left( 2\right) \)が成り立つことと推論が妥当であることは必要十分です。

命題(推論の妥当性)
前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)と結論\(B\)について、以下の2つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B \\
&&\left( b\right) \ \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\ \Rightarrow \ B
\end{eqnarray*}
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例(推論規則の導出)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot Q\ \therefore \ \lnot P
\end{equation*}について考えます。この推論に対応する論理式は、\begin{equation*}
\left[ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \lnot Q\right] \rightarrow \lnot P
\end{equation*}です。この論理式の真理値表は、
$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\rightarrow Q & \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \lnot Q & \left[ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \lnot Q\right] \rightarrow \lnot P \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
表:推論の妥当性

となるため、\begin{equation*}
\left[ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \lnot Q\right] \Rightarrow \lnot P
\end{equation*}が成り立つことが示されました。したがって、推論は妥当であり、\begin{equation*}
\left[ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \lnot Q\right] \ \models \ \lnot P
\end{equation*}が成り立ちます。

推論の妥当性を示すための3つ目の方法は、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)を出発点として推論規則を用いて結論を次々に導出し、最終的に当初の推論式の結論\(B\)を導出するというものです。これは証明(proof)と呼ばれる手続きですが、これについては後ほど詳しく解説することにして、まずは証明において役に立つ推論規則をいくつか提示します。

次回は含意除去と呼ばれる推論規則について学びます。
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