既知の事柄を前提とした上で、未知の事柄に関して結論を導き出すことを推論と呼びます。また、前提がすべて真である場合に結論が必ず真であるならば、その推論は妥当であると言います。妥当な推論を推論式と呼びます。

推論

既知の事柄を前提(premise)とした上で、未知の事柄に関する結論(conclusion)を導き出すことを推論(inference)と呼びます。より正確には、推論とは前提に相当する有限個の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が真である場合に、結論に相当する論理式\(B\)が常に真であること示すことであり、これを、$$
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \therefore \ B
$$と定式化します。これを推論式(inference formula)と呼びます。以降では推論式とそれが表す推論と区別せずに、両者をともに推論と呼ぶこともあります。

前提を持たず結論\(B\)だけを持つ推論を考える際には、それを、$$
\therefore \ B
$$と記述します。これは論理式\(B\)が恒真式であるという主張です。

 

妥当な推論:推論規則

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)と結論\(B\)に関する推論において、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真である場合に結論\(B\)が必ず真であるならば、この推論は妥当である(valid)と言い、このことを、$$
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B
$$で表します。これを推論規則(inference rule)と呼びます。

前提を持たず結論\(B\)だけを持つ推論が妥当であることは、$$
\models \ B
$$で表します。これは論理式\(B\)が恒真式であることを意味します。

例(妥当な推論)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論$$
P\vee Q,\ P\rightarrow Q\ \therefore \ Q
$$について考えます。以下の真理値表の 1 行目と 3 行目より、前提\(P\vee Q,\ P\rightarrow Q\)がともに真の場合には結論\(Q\)は常に真ですから、この推論は妥当です。

\begin{array}{cccc}
\hline
P & Q & P\vee Q & P\rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}

表:妥当な推論

 

妥当ではない推論

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)と結論\(B\)に関する推論が妥当でないならば、すなわち、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真である場合に結論\(B\)が真であるとは限らないならば、この推論は妥当でない(invalid)と言い、このことを、$$
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \not\models \ B
$$で表します。

例(妥当ではない推論)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論$$
\lnot P,\ P\rightarrow Q\ \therefore \ \lnot Q
$$について考えます。以下の真理値表の 3 行目より、前提\(\lnot P,\ P\rightarrow Q\)がともに真で結論\(\lnot Q\)が偽の場合が存在するため、この推論は妥当ではありません。

\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}

表:妥当ではない推論

 

推論規則を導く方法

前提が真という仮定から結論が真であることを示す

推論の妥当性を示す方法はいくつか存在します。1 つ目の方法は、すべての前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の値が\(1\)であることを仮定した上で、結論\(B\)が\(1\)になることを示すというものです。

例(推論の妥当性)
論理式\(A,B\)に関する、$$
A\rightarrow B,\ A\ \therefore \ B
$$という推論について、\(A\rightarrow B\)と\(A\)の値がともに\(1\)ならば、\(\rightarrow \)の定義より\(B\)の値は必ず\(1\)になります。したがって、上の推論は妥当です。

推論に対応する論理式が恒真式であることを示す

推論の妥当性を示すための 2 つ目の方法は、推論から以下の論理式\begin{equation}
\bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\ \rightarrow \ B \tag{1}
\end{equation}を構成した上で、これが恒真式であること、すなわち、\begin{equation}
\bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\ \Rightarrow \ B \tag{2}
\end{equation}が成り立つことを示すというものです。実際、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真である場合には\(\left( 2\right) \)の前件\(\bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\)は真になり、したがって恒真式の定義より、この場合には\(B\)は必ず真です。したがって推論は妥当です。一方、論理式\(\left( 1\right) \)が恒真式でない場合には、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真でも結論\(B\)が偽になる可能性があるため、この場合には推論は妥当ではありません。

例(推論の妥当性)
論理式\(A,B\)に関する、$$
A\rightarrow B,\ \lnot B\ \therefore \ \lnot A
$$という推論に対応する論理式は\(\left[ \left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B\right] \rightarrow \lnot A\)です。真理値表を用いると、

\begin{array}{ccccccc}
\hline
A & B & \lnot A & \lnot B & A\rightarrow B & \left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B & \left[ \left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B\right] \rightarrow \lnot A \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}

表:推論の妥当性

となり、これは恒真式です。したがって、推論は妥当です。

証明

推論の妥当性を示すための 3 つ目の方法は、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)を出発点として、推論規則を用いて結論を次々に導出し、最終的に当初の推論式の結論\(B\)を導出するというものです。これは証明(proof)と呼ばれる手続きですが、証明については後ほど詳しく解説することにして、まずは証明において役に立つ推論規則をいくつか提示します。

次回は含意除去と呼ばれる推論規則について学びます。
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