仮言三段論法

論理式 A,B,C について、「AならばB」と「BならばC」という前提から「AならばC」という結論を導く推論規則を仮言三段論法と呼びます。
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仮言三段論法

論理式\(A,B,C\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表を得ます。
$$\begin{array}{cccccccc}
\hline
A & B & C & A\rightarrow B & B\rightarrow C & A\rightarrow B\wedge B\rightarrow C & A\rightarrow C & \left( A\rightarrow B\wedge B\rightarrow C\right) \rightarrow \left( A\rightarrow C\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:仮言三段論法

つまり、\begin{equation*}
A\rightarrow B\ \wedge \ B\rightarrow C\ \Rightarrow \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立つため、ここから以下の推論規則を得ます。

命題(仮言三段論法)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\rightarrow B\ \wedge \ B\rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}
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つまり、\(A\rightarrow B\)と\(\ B\rightarrow C\)がともに真であるような任意の解釈において\(A\rightarrow C\)は必ず真になります。これは仮言三段論法(hypothetical syllogism)と呼ばれる推論規則です。

例(仮言三段論法)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、サッカーは中止である。} \\
&&\text{もしサッカーが中止ならば、ユニフォームは必要ない。} \\
&&\text{ゆえに、もし雨が降れば、ユニフォームは必要ない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{サッカーは中止である} \\
R &:&\text{ユニフォームは必要である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow \lnot R\ \therefore \ P\rightarrow \lnot R
\end{equation*}と定式化されます。仮言三段論法より、これは妥当な推論です。
例(仮言三段論法)
命題変数\(P,Q,R\)をそれぞれ任意に選んだとき、仮言三段論法より、以下がいずれも成り立ちます。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow R\ \models \ P\rightarrow R \\
&&\left( b\right) \ P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow \lnot R\ \models \
P\rightarrow \lnot R \\
&&\left( c\right) \ \lnot P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow R\ \models \ \lnot
P\rightarrow R \\
&&\left( d\right) \ \lnot P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow \lnot R\ \models \
\lnot P\rightarrow \lnot R
\end{eqnarray*}

次回は構成的ジレンマと呼ばれる推論規則について学びます。

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