\(A\rightarrow B\)と\(\ B\rightarrow C\)が真である場合には\(A\rightarrow C\)は必ず真になります。これは仮言三段論法と呼ばれる推論規則です。

仮言三段論法

以下の命題が成り立ちます。

命題(仮言三段論法)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\rightarrow B\ \wedge \ B\rightarrow C\ \Rightarrow \ A\rightarrow C
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B,C\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ B\rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(\ B\rightarrow C\)が真である場合には\(A\rightarrow C\)は必ず真になります。これは仮言三段論法(hypothetical syllogism)と呼ばれる推論規則です。

例(仮言三段論法)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、サッカーは中止である。} \\
&&\text{もしサッカーが中止ならば、ユニフォームは必要ない。} \\
&&\text{ゆえに、もし雨が降れば、ユニフォームは必要ない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{サッカーは中止である} \\
R &:&\text{ユニフォームは必要ない}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow R\ \therefore \ P\rightarrow R
\end{equation*}と定式化されます。仮言三段論法より、これは妥当な推論です。

次回は構成的ジレンマと呼ばれる推論規則について学びます。
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