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PROPOSITIONAL LOGIC

命題論理における仮言三段論法

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仮言三段論法

論理式\(A,B,C\)をそれぞれ任意に選ぶと、論理積と含意の定義より以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccccccc}\hline
A & B & C & A\rightarrow B & B\rightarrow C & A\rightarrow B\wedge B\rightarrow C & A\rightarrow C & \left( A\rightarrow B\wedge B\rightarrow C\right) \rightarrow \left( A\rightarrow C\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:仮言三段論法

上の真理値表より以下の恒真式\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\wedge B\rightarrow C\right) \Rightarrow \left(
A\rightarrow C\right)
\end{equation*}が成り立つことが確認できるため、以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ B\rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}を得ます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(B\rightarrow C\)がともに真であるような任意の解釈のもとで\(A\rightarrow C\)は必ず真になります。これは仮言三段論法(hypothetical syllogism)と呼ばれる推論規則です。

命題(仮言三段論法)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ B\rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立つ。

例(仮言三段論法)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、サッカーは中止である。} \\
&&\text{もしサッカーが中止ならば、ユニフォームは必要ない。} \\
&&\text{ゆえに、もし雨が降れば、ユニフォームは必要ない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{サッカーは中止である} \\
R &:&\text{ユニフォームは必要である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow \lnot R\ \therefore \ P\rightarrow \lnot R
\end{equation*}と定式化されます。仮言三段論法よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\rightarrow Q,\ Q\rightarrow \lnot R\ \models \ P\rightarrow \lnot R
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。これは\(P\rightarrow Q\)と\(Q\rightarrow \lnot R\)がともに真であるような状況において\(P\rightarrow \lnot R\)が必ず真になることを意味します。では、「雨が降ってサッカーが中止になったにも関わらずユニフォームが必要」である場合には何が起きているでしょうか。「雨が降ってサッカーが中止になった」ことは\(P\rightarrow Q\)が真であることを意味し、「雨が降ったにも関わらずユニフォームが必要」であることは\(P\rightarrow \lnot R\)が偽であることを意味します。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、推論の結論である\(P\rightarrow \lnot R\)が偽である場合、推論の前提である\(P\rightarrow Q\)と\(Q\rightarrow \lnot R\)の少なくとも一方が偽です。今は\(P\rightarrow Q\)が真である場合について考えているため\(Q\rightarrow \lnot R\)が偽でなければなりません。つまり、「サッカーが中止ならば、ユニフォームは必要ない」という主張がそもそも間違っているということになります。例えば、雨が降ってサッカーは中止だが、ユニフォームを着て屋内でサッカーとは異なるスポーツを行う状況なのかもしれません。
例(仮言三段論法)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow \left( B\wedge C\right) ,\ \left( B\wedge C\right) \rightarrow
\lnot D\ \therefore \ A\rightarrow \lnot D
\end{equation*}について考えます。\(A\rightarrow \left( B\wedge C\right) \)と\(\left( B\wedge C\right)\rightarrow \lnot D\)がともに真であるとき、仮言三段論法より\(A\rightarrow \lnot D\)は真であるため、上の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\rightarrow \left( B\wedge C\right) ,\ \left( B\wedge C\right) \rightarrow
\lnot D\ \models \ A\rightarrow \lnot D
\end{equation*}が成り立ちます。

例(仮言三段論法)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow B,\ A\vee C,\ \lnot B,\ C\rightarrow \left( B\rightarrow
D\right) \ \therefore \ A\rightarrow D
\end{equation*}について考えます。\(A\rightarrow B\)と\(A\vee C\)と\(\lnot B\)と\(C\rightarrow\left( B\rightarrow D\right) \)がいずれも真であるものとします。\(A\rightarrow B\)と\(\lnot B\)が真であるとき、後件否定より\(\lnot A\)が真です。\(\lnot A\)と\(A\vee C\)が真であるとき、選言三段論法より\(C\)が真です。\(C\)と\(C\rightarrow \left(B\rightarrow D\right) \)が真であるとき、含意除去より\(B\rightarrow D\)が真です。\(A\rightarrow B\)と\(B\rightarrow D\)が真であるとき、仮言三段論法より\(A\rightarrow D\)が真です。したがって、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ A\vee C,\ \lnot B,\ C\rightarrow \left( B\rightarrow
D\right) \ \models \ A\rightarrow D
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(仮言三段論法)
繰り返しになりますが、仮言三段論法とは、任意の論理式\(A,B,C\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ B\rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立つという推論規則です。本文中では仮言三段論法が成り立つことを真理値表を用いて示しましたが、同じことを同値変形で示してください。

証明

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問題(仮言三段論法)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow B,\ A\vee B\ \therefore \ B
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

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次回は構成的ジレンマと呼ばれる推論規則について学びます。

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和集合
命題論理における選言導入

論理式 A,B を任意に選んだとき、「Aである」(もしくは「Bである」)という前提から「AまたはB」という結論を導く推論規則を選言導入と呼びます。

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