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PROPOSITIONAL LOGIC

命題変数の解釈

目次

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命題変数の値

任意の命題変数\(P\)はそれ自体が論理式ですが、命題変数の定義より、これは\(0\)または\(1\)を値として取り得ます。以下の表にはこの事実が表現されていますが、これを真理値表(true value table)と呼びます。
\begin{array}{c}
\hline
P \\ \hline
1 \\ \hline
0 \\ \hline
\end{array}

表:命題変数の値

表の 1 行目は\(P\)の値が\(1\)である場合を表し、2 行目は\(P\)の値が\(0\)である場合をそれぞれ表します。命題変数は 2 つの値\(1,0\)を取り得るため、命題変数の真理値表には 2 つの行が必要です。

命題変数\(P,Q\)はそれぞれ 2 つの値\(0,1\)を取り得るため、両者の値の組み合わせは 4 通り存在します。以下の真理値表にはこの事実が表現されています。

\begin{array}{cc}
\hline
P & Q \\ \hline
1 & 1 \\ \hline
1 & 0 \\ \hline
0 & 1 \\ \hline
0 & 0 \\ \hline
\end{array}

表:2つの命題変数の値の組

表の 1 行目は\(P\)と\(Q\)の値がともに\(1\)である場合を表し、2 行目は\(P\)の値が\(1\)で\(Q\)の値が\(0\)である場合を表します。残りの行についても同様に考えます。

 

命題定数の値

命題定数\(T,F\)はそれ自体が論理式ですが、命題定数の定義より、\(T\)の値は常に\(1\)であり、\(F\)の値は常に\(0\)です。以下の真理値表にはこの事実が表現されています。

\begin{array}{cc}
\hline
T & F \\ \hline
1 & 0 \\ \hline
\end{array}

表:命題定数の値

左の列は\(T\)が\(1\)だけを値として取り得ることを表し、右の列は\(F\)が\(0\)だけを値として取り得ることを表します。

命題変数\(P\)と命題定数\(T,F\)の値の組み合わせが以下の真理値表に表現されています。

\begin{array}{cc}
\hline
P & T & F \\ \hline
1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}

表:命題変数と命題定数の値

命題変数\(P\)は 2 つの値\(1,0\)を取り得ますが、命題定数\(T,F\)はそれぞれ 1 つの値のみを取り得るため、これらの値の組み合わせは 2 通りだけ存在します。

 

演習問題

問題(真理値表)
3つの命題変数\(P,Q,R\)の真理値の組み合わせを表す真理値表を書いてください。
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問題(真理値表)
2つの命題変数\(P,Q\)と命題定数\(T,F\)の真理値の組み合わせを表す真理値表を書いてください。
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次回は否定の解釈について学びます。

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DISCUSSION

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命題論理