同じ論理式どうしの論理和と論理積はもとの論理式と同値です。論理積と論理和が満たすこの性質をベキ等律と呼びます。

2018年11月17日:公開

ベキ等律

同じ論理式どうしの論理和と論理積はもとの論理式と同値です。論理積と論理和が満たすこの性質をベキ等律(idempotent law)と呼びます。

命題(ベキ等律)
任意の論理式\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge A\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee A\Leftrightarrow A
\end{align*}
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上の命題と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A\)に対して、$$
A\wedge A\Leftrightarrow A\vee A
$$という関係もまた成立します。つまり、同一の論理式どうしの論理積と論理和は同値です。

例(ベキ等律)
命題変数\(P\)について、\(\wedge \)に関するベキ等律より、\begin{equation}
P\wedge P\Leftrightarrow \left( P\wedge P\right) \wedge P\Leftrightarrow P\wedge \left( P\wedge P\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ち、\(\vee \)に関するベキ等律より、\begin{equation}
P\vee P\Leftrightarrow \left( P\vee P\right) \vee P\Leftrightarrow P\vee \left( P\vee P\right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。さらに、やはりベキ等律より\(P\wedge P\Leftrightarrow P\vee P\)が成り立つことから、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)に登場する 6 つの論理式すべてが同値となります。

次回は交換律について学びます。
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