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PROPOSITIONAL LOGIC

証明

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証明

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n},B\)に関する以下の推論\begin{equation*}A_{1},\cdots ,A_{n}\ \therefore \ B
\end{equation*}の妥当性を示すために、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)を出発点として、これまで学んだ推論規則を用いて結論を次々に導出し、最終的に結論\(B\)を導出する手法を証明(proof)や演繹(deduction)などと呼びます。

例(証明)
論理式\(A,B\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow \left( A\rightarrow B\right) ,\ A\ \therefore \ B
\end{equation*}が妥当であることを証明します。つまり、\(A\rightarrow \left( A\rightarrow B\right) \)と\(A\)がともに真である場合には\(B\)もまた必ず真であることを示すことが目標です。以下の論理式の列
$$\begin{array}{lll}\left( 1\right) & A\rightarrow \left( A\rightarrow B\right) & 前提 \\
\left( 2\right) & A & 前提 \\
\left( 3\right) & A\rightarrow B & \left( 1\right) ,\left( 2\right) と\rightarrow 除去 \\
\left( 4\right) & B & \left( 2\right) ,\left( 3\right) と\rightarrow 除去
\end{array}$$
について考えます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は推論の前提であり、以降ではこれらが真である場合について考えます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)に推論規則(含意除去)を適用すると\(\left( 3\right) \)を得られるため、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)が真の場合には\(\left( 3\right) \)もまた真です。さらに、\(\left( 2\right) \)と\(\left(3\right) \)に推論法則(含意除去)を適用すると\(\left( 4\right) \)を得られるため、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)が真の場合には\(\left( 4\right) \)もまた真です。\(\left( 4\right) \)は推論の結論に他なりません。議論を振り返ると、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)が真の場合には\(\left( 3\right) \)が真であり、さらに、\(\left(2\right) \)と\(\left( 3\right) \)が真の場合には\(\left( 4\right) \)が真であるため、結局、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)が真の場合には\(\left( 4\right) \)が真であることが示されました。つまり、与えられた推論は妥当であり、\begin{equation*}A\rightarrow \left( A\rightarrow B\right) ,\ A\ \models \ B
\end{equation*}が成り立ちます。

 

証明のフォーマルな定義

議論を一般化しましょう。前提が\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)であり結論が\(B\)であるような推論に対して、以下の条件を満たす論理式の有限な列\(\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{m}\)が存在する場合には、これを前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)から結論\(B\)への証明(proof)や演繹(deduction)などと呼びます。

  1. 最後の論理式\(\alpha _{m}\)は推論の結論\(B\)と一致する。つまり、\(\alpha _{m}=B\)が成り立つ。
  2. それぞれの\(i\ (1\leq i\leq m)\)について以下のどちらかが成り立つ:
    1. 論理式\(\alpha _{i}\)は前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中のいずれかである。
    2. 論理式\(\alpha _{i}\)はそれより前にある論理式に推論規則を適用して得られるものである。

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)から結論\(B\)への証明が存在する場合には\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)から\(B\)が証明可能(provable)であると言います。先の例のように、証明\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m}\)を構成する個々の論理式の番号を明示的に表現したい場合には、
$$\begin{array}{ll}\left( 1\right) & \alpha _{1} \\
\cdots & \cdots \\
\left( m\right) & \alpha _{m}
\end{array}$$と表記します。

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)から結論\(B\)が証明可能である場合、証明の定義より、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がいずれも真である場合には\(B\)もまた必ず真になります。すなわち、推論は妥当であるため、推論規則\begin{equation*}A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B
\end{equation*}が成り立ちます。特に、推論に前提が存在しない場合には、結論\(B\)は証明可能であると言い、このことを、\begin{equation*}\models \ B
\end{equation*}で表します。これは\(B\)が恒等式であることに他なりません。

例(証明)
命題変数\(P,Q,R\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}P\rightarrow \left( Q\rightarrow R\right) ,\ P\ \models \ P\wedge \left(
Q\rightarrow R\right)
\end{equation*}は、以下の証明によって証明可能です。

$$\begin{array}{lll}\left( 1\right) & P\rightarrow \left( Q\rightarrow R\right) & 前提 \\
\left( 2\right) & P & 前提 \\
\left( 3\right) & Q\rightarrow R & \left( 1\right) ,\left( 2\right) と\rightarrow 除去 \\
\left( 4\right) & P\wedge \left( Q\rightarrow R\right) & \left( 2\right) ,\left( 3\right) と\wedge 導入
\end{array}$$

例(証明)
命題変数\(P,Q,R,S\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}\left( P\vee R\right) \rightarrow \left[ \left( P\vee R\right) \rightarrow
\left( Q\rightarrow \lnot S\right) \right] ,\ P\vee R,\ Q,\ \lnot S\ \models
\ \lnot S
\end{equation*}は、以下の証明によって証明可能です。

$$\begin{array}{lll}\left( 1\right) & \left( P\vee R\right) \rightarrow \left[ \left( P\vee R\right) \rightarrow \left( Q\rightarrow \lnot S\right) \right] & 前提 \\
\left( 2\right) & P\vee R & 前提 \\
\left( 3\right) & Q & 前提 \\
\left( 4\right) & \lnot S & 前提 \\
\left( 5\right) & \left( P\vee R\right) \rightarrow \left( Q\rightarrow \lnot S\right) & \left( 1\right) ,\left( 2\right) と\rightarrow 除去 \\
\left( 6\right) & Q\rightarrow \lnot S & \left( 2\right) ,\left( 5\right) と\rightarrow 除去 \\
\left( 7\right) & \lnot S & \left( 3\right) ,\left( 6\right) と\rightarrow 除去
\end{array}$$

例(証明)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{加藤さんは日本人または米国人である。} \\
&&\text{加藤さんが日本人ならば、彼は日本生まれである。} \\
&&\text{加藤さんは日本生まれではない。} \\
&&\text{ゆえに、加藤さんは米国人である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{加藤さんは日本人である} \\
Q &:&\text{加藤さんは米国人である} \\
R &:&\text{加藤さんは日本生まれである}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\vee Q,\ P\rightarrow R,\ \lnot R\ \therefore \ Q
\end{equation*}と定式化されます。この推論の妥当性は以下の証明

$$\begin{array}{lll}\left( 1\right) & P\vee Q & 前提 \\
\left( 2\right) & P\rightarrow R & 前提 \\
\left( 3\right) & \lnot R & 前提 \\
\left( 4\right) & \lnot P & \left( 2\right) ,\left( 3\right) と後件否定 \\
\left( 5\right) & Q & \left( 1\right) ,\left( 4\right) と選言三段論法
\end{array}$$
によって証明可能です。したがって、\begin{equation}
P\vee Q,\ P\rightarrow R,\ \lnot R\ \models \ Q \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。では、加藤さんが実際には「米国人ではない」場合、すなわち\(Q\)が偽である場合には何が起きているでしょうか。推論規則\(\left(1\right) \)が成り立つことを踏まえると、この場合、推論の前提である\(P\vee Q\)と\(P\rightarrow R\)と\(\lnot R\)の中の少なくとも1つが偽になります。仮に加藤さんが米国で生まれた日本人であるならば\(P\vee Q\)と\(\lnot R\)はともに真であるため、残された前提である\(P\rightarrow R\)に相当する「日本人は日本生まれ」が偽ということになります。つまり、先の推論が妥当であるという状況において、加藤さんが米国で生まれた日本人であり、なおかつ米国人でないのであれば、「日本人は日本生まれ」という主張が偽であることが結論付けられるということです(実際、日本は出生地主義ではなく血統主義を採用しています)。

 

推論が妥当でないことの証明

推論の証明を見つけられないからといって証明が存在しないことにはなりません。推論の証明を見つけられないことは、その推論が妥当でないことを必ずしも意味しません。推論が妥当でないことを示すためには、前提がすべて真である一方で結論が偽になるような解釈を具体的に提示したり、証明が存在しないことを具体的に示す必要があります。

例(証明)
論理式\(A,B\)に関する以下の推論\begin{equation*}\lnot A,\ A\rightarrow B\ \therefore \ \lnot B
\end{equation*}について考えます。以下の解釈のもとでは\(\lnot A\)と\(A\rightarrow B\)はともに真であるにも関わらず\(\lnot B\)は偽であるため、この推論は妥当ではありません。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
A & B & \lnot A & \lnot B & A\rightarrow B \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:妥当ではない推論

 

演習問題

問題(証明)
論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}A\rightarrow B,\ A\rightarrow C,\ A\ \models \ B\wedge C
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(証明)
論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}A\wedge B,\ A\rightarrow \left( C\wedge D\right) \ \models \ D
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(証明)
以下の推論が妥当であることを証明してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{鈴木さんは山か海のどちらかへ行く} \\
&&\text{鈴木さんは釣竿を持っていないならば海へは行かない} \\
&&\text{鈴木さんは山へは行かない} \\
&&\text{したがって、鈴木さんは釣竿を持っている}\end{eqnarray*}
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問題(証明)
以下の推論が妥当であることを証明してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{鈴木さんは魚釣りをしない予定ならば、海へはドライブしない} \\
&&\text{鈴木さんは山へドライブする場合には、レンタカーを借りる} \\
&&\text{鈴木さんの車が壊れていなければ、彼はレンタカーを借りない} \\
&&\text{鈴木さんが海へドライブしないならば、彼は山へドライブする} \\
&&\text{鈴木さんの車は壊れていない} \\
&&\text{したがって、鈴木さんは魚釣りをする}\end{eqnarray*}
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次回は条件付き証明について学びます。

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