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CALCULUS

微分積分

OVERVIEW

微分とは何か

微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。

微分は広範な領域で応用されています。物理学や工学では自然現象の変化を微分を用いて描写しますし、経済学では価格や所得、利子率、時間の変化などが経済にもたらす影響を微分を用いて表現します。変化をともなう現象はいずれも微分を用いて分析することができます。

1変数関数の微分

1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

ベクトル値関数の微分

曲線(1変数のベクトル値関数)について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の微分

多変数関数(スカラー場)について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。

1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

関数の最適化

与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

論理

論理学のテキストと演習問題です。命題論理と述語論理について学びます。

実数

実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。

ユークリッド空間

ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像(ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数)の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。

集合

集合に関するテキストと演習問題です。集合、写像、同値関係、集合の濃度などについて解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

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