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SEQUENCE IN METRIC SPACE

距離空間上の点列

OVERVIEW

点列とは何か

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。
TABLE OF CONTENTS

目次

LIMIT OF SEQUENCES

距離空間上の点列の極限

距離空間という概念を定義します。

PROPERTIES OF LIMIT OF SEQUENCES

点列の極限の基本性質

距離空間上の点列の極限に関する性質に関して解説します。

SUBSEQUENCE

点列の部分列

部分列について解説します。

距離空間上の点列の部分列

距離空間上の点列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べることで得られる新たな点列を部分列と呼びます。部分列を合成写像として定義するとともに、部分列の一般項を特定する方法を解説します。

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CAUCHY SEQUENCE

コーシー列

コーシー列について解説します。

距離空間上のコーシー列

距離空間上の点列のある項より先の任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、その点列をコーシー列と呼びます。コーシー列を厳密に定義します。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

実数

実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

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ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

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ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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多変数関数(スカラー場)

多変数関数(スカラー場)という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。

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多変数のベクトル値関数(ベクトル場)

本節では多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後に多変数のベクトル値関数の微分について学ぶ際の前提知識となります。

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