距離空間上の点列

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。

学習内容

距離空間上の点列の極限

距離空間上の点列という概念を定義します。

距離空間上の点列の定義

距離空間の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は自然数空間から距離空間への写像と同一視されます。

距離空間上の点列の極限(点列の収束と発散)

距離空間上の点列が収束すること、ないし発散することの意味をイプシロン・デルタ論法を用いて定義します。

数列を用いた距離空間上の点列の収束判定

距離空間上の点列が収束すること、ないし発散することを示す際にイプシロン・デルタ論法を用いるのではなく、数列を用いる方法を解説します。

点列の極限の基本性質

距離空間もしくはその部分集合が有界であること、全有界であることについて解説します。

点列の部分列

部分列について解説します。

コーシー列

コーシー列について解説します。

学習ガイド

大学の数学カリキュラムとWIISのカリキュラムは何が違うのか

多くの大学では入学後すぐに微分積分学や線形代数学を学び、その後に実数論や位相空間論などの理論的な科目へ進みます。一方、WIISでは論理学・集合論の後に実数論を学び、その上で微分積分学へ進むカリキュラムを採用しています。本記事では、それぞれの考え方とWIISの学習順序のメリットについて解説します。

最新の議論

関連分野

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論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。

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集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。

距離空間の定義

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離概念の中の1つに過ぎません。公理主義の立場から距離空間と呼ばれる概念を定義します。

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実数論では、実数の連続性や極限の概念を基礎から学びます。実数の定義、数列、関数、級数、関数列、数直線の位相、拡大実数系を通じて、解析学の理論的基盤を体系的に理解することを目指します。

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距離空間の位相

距離空間上の点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質について解説します。

距離空間上の写像

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