部分距離空間上の点列の収束可能性

距離空間において収束する点列は部分空間において収束するとは限らない

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離の測定対象となる点集合を\(X\)から\(A\)へ制限した上で、それにあわせて距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限して\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、\(\left( A,d_{A}\right) \)はそれ自体が距離空間になります。これをもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。定義より以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in A:d_{A}\left( x,y\right) =d\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つため、慣例として、部分距離空間上の距離関数\(d_{A}\)をもとの距離空間上の距離関数\(d\)と同じ記号を用いて表記します。

部分距離空間\(A\subset X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A
\end{equation*}が成り立つということです。\(A\subset X\)ゆえに、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X
\end{equation*}であるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)はもとの距離空間\(X\)上の点列でもあります。さらに、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はもとの距離空間\(X\)上において収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つということです。この場合、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は部分距離空間\(A\)上において収束するとは限りません。つまり、\begin{equation*}\exists b\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},b\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

距離空間において収束する点列が部分空間において収束するための条件

部分距離空間\(A\subset X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がもとの距離空間\(X\)上において収束する場合でも、部分距離空間\(A\)上において収束するとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件が満たされていれば、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は部分距離空間\(A\)上においても収束することを保証できるのでしょうか。

仮定より点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はもとの距離空間\(X\)上において収束するため、その極限が\(X\)上に存在します。つまり、\begin{equation*}\exists a\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立ちます。この極限\(a\)が部分空間\(A\)上の点であることは、すなわち、\begin{equation*}a\in A
\end{equation*}が成り立つことは、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が部分距離空間\(A\)上で収束するための必要十分条件です。しかもそのとき、\(A\)上における\(\left\{x_{n}\right\} \)の極限は\(a\)と一致します。

部分空間上の収束点列は距離空間上においても収束する

部分距離空間\(A\subset X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がもとの距離空間\(X\)上において収束する場合でも、部分距離空間\(A\)上において収束するとは限りません。その一方で、部分距離空間\(A\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が部分距離空間\(A\)上において収束する場合、その点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はもとの距離空間\(X\)上において収束することが保証されます。具体的には以下の通りです。

仮定より点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は部分距離空間\(A\)上において収束するため、その極限が\(A\)上に存在します。つまり、\begin{equation*}\exists a\in A:\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立ちます。\(A\subset X\)ゆえに\(a\in X\)ですが、この場合、この点列\(\left\{x_{n}\right\} \)はもとの距離空間\(X\)上においても収束するとともに、\(X\)上における\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は\(a\)と一致します。

演習問題