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距離空間上の点列

距離空間上のコーシー列

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距離空間上のコーシー列

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、この点列をコーシー列(Cauchy sequence)や基本列(fundamental sequence)などと呼びます。ただ、コーシー列に関して議論を厳密に行うためには「限りなく小さくなる」ことを明確に定式化しておく必要があります。

点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の2つの項\(x_{m},x_{n}\)を任意に選んだとき、それらの距離は\(d\left( x_{m},x_{n}\right) \)で表されます。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この点列の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(x_{m},x_{n}\)の間の距離\(d\left( x_{m},x_{n}\right) \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。以上の主張を定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}となります。以上によって点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることの定義とします。

コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の間の距離がどこまでも小さくなっていく点列です。したがってコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。

例(コーシー列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。これを示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \leq \frac{2}{N} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\)を適当に選べば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad
\because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。
例(コーシー列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} : \\
m &\geq &N\wedge n\geq N\Rightarrow \sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2m}\right) -\left( 1+\frac{1}{2n}\right) \right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2m}\right) -\left( 2-\frac{1}{2n}\right) \right] ^{2}}<\varepsilon
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \sqrt{2\left( \frac{1}{2n}-\frac{1}{2m}\right) ^{2}}<\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。これを示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\sqrt{2\left( \frac{1}{2n}-\frac{1}{2m}\right) ^{2}} &=&\sqrt{2}\left\vert
\frac{1}{2n}-\frac{1}{2m}\right\vert \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2n}+\frac{1}{2m}\right) \quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}\right) \quad \because
m,n\geq N \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sqrt{2\left( \frac{1}{2n}-\frac{1}{2m}\right) ^{2}}\leq \frac{\sqrt{2}}{N}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。そこで、\begin{equation}
\frac{\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\)を適当に選べば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\sqrt{2\left( \frac{1}{2n}-\frac{1}{2m}\right) ^{2}} &\leq &\frac{\sqrt{2}}{N}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。
例(コーシー列)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。何らかの要素\(x\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=x
\end{equation*}と定義します。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義よりこれは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x,x\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}であることを意味し、さらに離散距離\(d\)の定義よりこれは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}であることを意味します。これは明らかに成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)はコーシー列であることが明らかになりました。

 

コーシー列ではないことの意味

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列でないこととは、コーシー列の定義の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\wedge d\left( x_{m},x_{n}\right) \geq
\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、点列\(\left\{x_{n}\right\} \)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらの距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような2つの項\(x_{m},x_{n}\)が存在するということです。

例(コーシー列ではない点列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して実数\(x_{n}\in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像であり、これは数列に他なりません。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列がコーシー列ではないことを示します。つまり、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\wedge d\left( x_{m},x_{n}\right) \geq
\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert \left( -1\right) ^{m}-\left(
-1\right) ^{n}\right\vert \geq \varepsilon \right] \end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon =1\)を選びます。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\(m\geq N\)を満たす偶数\(m\)と\(n\geq N\)を満たす奇数\(n\)をとると、\begin{eqnarray*}\left\vert \left( -1\right) ^{m}-\left( -1\right) ^{n}\right\vert
&=&\left\vert 1-\left( -1\right) \right\vert \quad \because m\text{は偶数かつ}n\text{は奇数} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。

 

演習問題

問題(コーシー列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列でしょうか。議論してください。
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問題(コーシー列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1^{n},\left( -1\right) ^{n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列でしょうか。議論してください。
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問題(コーシー列)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(x\not=y\)を満たす何らかの要素\(x,y\in X\)を任意に選んだ上で、\(X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\text{は奇数}\right) \\
y & \left( if\ x\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列でしょうか。議論してください。
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問題(コーシー列)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\frac{t}{n}
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列でしょうか。議論してください。
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問題(コーシー列)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =nt
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列でしょうか。議論してください。
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問題(2つのコーシー列から生成されるコーシー数列)
距離空間\(X\)上の2つの点列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が与えられたとき、一般項が、\begin{equation*}a_{n}=d\left( x_{n},y_{n}\right)
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{a_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに\(X\)上のコーシー列である場合には\(\left\{a_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上のコーシー列であることを示してください。
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問題(2つの距離空間上のコーシー列が一致するための条件)
集合\(X\)を共有する2つの異なる距離空間\(\left(X,d_{1}\right) ,\left( X,d_{2}\right) \)が与えられた状況を想定します。つまり、距離関数\(d_{1},d_{2}\)は異なるということです。以上の状況において、\begin{equation*}\exists \alpha >0,\ \exists \beta >0,\ \forall x,y\in X:\alpha d_{1}\left(
x,y\right) \leq d_{2}\left( x,y\right) \leq \beta d_{1}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(\left( X,d_{1}\right) \)上のコーシー列であることと、\(\left\{x_{n}\right\} \)が\(\left( X,d_{2}\right) \)上のコーシー列であることは必要十分になることを示してください。
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