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距離空間上の点列

実ベクトル空間上の距離のもとでの点列の極限

目次

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実ベクトル空間上の距離関数

距離空間\(\left( X,d\right) \)とは非空集合\(X\)と距離関数\(d\)から構成される概念です。ただし、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)とは以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。同一の集合\(X\)に対して導入可能な距離関数\(d\)は1種類だけであるとは限りません。\(X\)が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)である場合にも、それに対して様々な距離関数が導入可能です。

\(n\)次元の実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に対して何らかの距離関数を定義し、便宜上、これを、\begin{equation*}d^{n}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)は距離空間であるということです。任意の次元\(n\)について同様であるため、問題とする集合を\(1\)次元の実ベクトル空間\(\mathbb{R} \)とした上で、それに呼応する形で先の関数を、\begin{equation*}d^{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とすれば、この\(d^{1}\)もまた距離関数であり、したがって\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)は距離空間となります。

例(ユークリッド空間)
\(n\)次元のユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)は距離空間です。ただし、ユークリッド距離\(d^{n}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}d^{n}\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(1\)次元のユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)もまた距離空間であり、ユークリッド距離\(d^{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d^{1}\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert
\end{eqnarray*}を定めます。

例(マンハッタン距離空間)
\(n\)次元のマンハッタン距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)は距離空間です。ただし、マンハッタン距離\(d^{n}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}d^{n}\left( x,y\right) &=&\left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert +\left\vert
x_{2}-y_{2}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{eqnarray*}を定めます。\(1\)次元のマンハッタン距離空間\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)もまた距離空間であり、マンハッタン距離\(d^{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d^{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めます。

例(チェビシェフ距離空間)
\(n\)次元のチェビシェフ距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)は距離空間です。ただし、チェビシェフ距離\(d^{n}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d^{n}\left( x,y\right) =\max \left\{ \left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert
,\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert ,\cdots ,\left\vert
x_{n}-y_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}を定めます。\(1\)次元のチェビシェフ距離空間\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)もまた距離空間であり、チェビシェフ距離\(d^{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d^{1}\left( x,y\right) &=&\max \left\{ \left\vert x-y\right\vert \right\}
\\
&=&\left\vert x-y\right\vert
\end{eqnarray*}を定めます。

 

実ベクトル空間上の点列と座標数列

\(n\)次元の実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に対して何らかの距離関数\(d^{n}\)を導入することで得られる距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)を議論の対象とします。また、それに対応する\(1\)次元の距離空間を\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)で表記します。先に例示したように、\(d^{n}\)の候補としてはユークリッド距離やマンハッタン距離、チェビシェフ距離などがあります。

距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のそれぞれの項\(x_{v}\)は\(n\)次元ベクトルですが、その成分を明示したい場合には、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記することとします。この表記にしたがうと、点列\(\{x_{v}\}\)の各項は、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right) },\cdots
,x_{1}^{\left( n\right) }\right) \\
x_{2} &=&\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right) },\cdots
,x_{2}^{\left( n\right) }\right) \\
&&\vdots \\
x_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という形になります。つまり、\(x_{v}^{\left( i\right) }\)は点列\(\{x_{v}\}\)の第\(v\)項の第\(i\)成分に相当する実数です。

繰り返しになりますが、距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)の点列\(\{x_{v}\}\)のそれぞれの項は、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という\(n\)次元ベクトルであるため、その第\(k\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)成分\(x_{v}^{\left( k\right) }\)に注目すると、それを一般項とする距離空間\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)上の点列\(\left\{ x_{v}^{\left(k\right) }\right\} \)が得られます。つまり、点列\(\left\{ x_{v}^{\left(k\right) }\right\} \)の第\(v\)項はもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(v\)項の第\(k\)成分に相当する実数です。このような点列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)をもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の\(k\)座標数列(\(k\) thcoordinate sequence)と呼びます。どの成分に注目するかにより、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)からは\(n\)個の座標数列\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} ,\left\{ x_{v}^{\left( 2\right)
}\right\} ,\cdots ,\left\{ x_{v}^{\left( n\right) }\right\}
\end{equation*}を得ることができます。

例(点列と座標数列)
ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d^{2}\right) \)における点列\(\left\{x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{v}^{\left( 1\right) }=v
\end{equation*}であり、第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{v}^{\left( 2\right) }=\frac{1}{v}
\end{equation*}です。\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)はともにベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上の点列です。
例(点列と座標数列)
ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ^{3},d^{3}\right) \)における点列\(\left\{x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) },x_{v}^{\left(
3\right) }\right) =\left( v,v^{2},v^{3}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の第\(k\ \left( =1,2,3\right) \)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{v}^{\left( k\right) }=v^{k}
\end{equation*}です。\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} ,\left\{x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} ,\left\{ x_{v}^{\left( 3\right) }\right\} \)はいずれもベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上の点列です。

 

点列の極限と座標数列の極限の関係

距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するか検討している状況を想定します。この点列の一般項は、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、ここから\(n\)個の座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)が得られます。それぞれの座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left(k\right) }\right\} \)は距離空間\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)上の点列であるため、距離関数\(d^{1}\)のもとで収束するか検討できます。

以上を踏まえたとき、距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)がユークリッド距離空間、マンハッタン距離空間、またはチェビシェフ距離空間である場合には、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することと、すべての座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right)}\right\} \)が収束することは必要十分条件であるとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

まずは補題として以下の命題を示します。

命題(実ベクトル空間上の距離関数の性質)
距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)はユークリッド距離空間、マンハッタン距離空間、またはチェビシェフ距離空間であるものとする。また、それに対応する1次元の距離空間を\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)で表記する。2つの点\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall k\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :d^{1}\left(
x_{k},y_{k}\right) \leq d^{n}\left( x,y\right) \\
&&\left( b\right) \ d^{n}\left( x,y\right) \leq \sum_{k=1}^{n}d^{1}\left(
x_{k},y_{k}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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上の命題を踏まえると以下が導かれます。

命題(点列の極限と座標数列の極限の関係)
距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)はユークリッド距離空間、マンハッタン距離空間、またはチェビシェフ距離空間であるものとする。距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することと、それぞれの\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、点列\(\left\{x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が距離空間\(\left( \mathbb{R} ,d^{1}\right) \)上で収束することは必要十分であり、さらにそれらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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以上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(3つの距離のもとでの点列の収束可能性)
距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d^{n}\right) \)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだとき、以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{ユークリッド距離}d^{n}\text{のもとで}\left\{
x_{v}\right\} \text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ \text{マンハッタン距離}d^{n}\text{のもとで}\left\{
x_{v}\right\} \text{は収束する} \\
&&\left( c\right) \ \text{チェビシェフ距離}d^{n}\text{のもとで}\left\{
x_{v}\right\} \text{は収束する}
\end{eqnarray*}は必要十分である。

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演習問題

問題(実ベクトル空間上の点列の極限)
距離空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d^{2}\right) \)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(d^{2}\)がユークリッド距離である場合、マンハッタン距離の場合、チェビシェフ距離の場合にそれぞれについて\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するか検討してください。
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