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距離空間上の点列

数列を用いた距離空間上の点列の収束判定

目次

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数列を用いた点列の収束判定

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となりますが、以上の定義にもとづいて点列が収束することを証明するのは面倒です。点列の極限は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が点列が収束することを容易に示すことができます。順を追って説明します。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が与えられており、なおかつ、その極限の候補\(a\in X\)が何らかの事情により明らかになっている状況を想定します。距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は距離空間上の点の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して実数\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めるため、先の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と点\(a\in X\)が与えられれば、一般項が、\begin{equation*}d\left( x_{n},a\right)
\end{equation*}であるような数列\(\left\{d\left( x_{n},a\right) \right\} \)を構成できます。この数列が\(0\)に収束することと、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\)へ収束することは必要十分になることが保証されます。つまり、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}d\left( x_{n},a\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(数列を用いた点列の収束判定)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)と点\(a\in X\)が与えられたとき、そこから数列\(\left\{ d\left( x_{n},a\right) \right\} \)を構成する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}d\left( x_{n},a\right) =0
\end{equation*}が成立する。

証明

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以上の命題より、距離空間上の点列の収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。ただし、上の命題を利用する際には点列の極限の候補となる点が必要になります。

例(数列を用いた点列の収束判定)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して2次元ベクトル\(x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right)}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を1つずつ定める写像です。\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(\left( 1,2\right) \)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを証明します。数列\(\left\{ d\left( x_{n},\left( 1,2\right) \right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},\left( 1,2\right) \right) &=&d\left( \left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right) ,\left( 1,2\right) \right) \\
&=&\sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2n}\right) -1\right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2n}\right) -2\right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{2}{4n^{2}}} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }d\left( x_{n},\left( 1,2\right) \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2}}{2n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

例(数列を用いた点列の収束判定)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(X\)の要素\(x_{n}\in X\)を1つずつ定める写像です。何らかの要素\(x\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=x
\end{equation*}と定義します。この点列が\(x\)へ収束することを示します。数列\(\left\{ d\left( x_{n},x\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x\right) &=&d\left( x,x\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0\quad \because d\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }d\left( x_{n},x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

例(数列を用いた点列の収束判定)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ 0,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ 0,1\right]\)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-nt & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(x:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示します。数列\(\left\{ d\left(x_{n},x\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x\right) &=&\int_{0}^{1}\left\vert x_{n}\left( t\right)
-x\left( t\right) \right\vert dt\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{1}\left\vert x_{n}\left( t\right) -0\right\vert dt\quad
\because x\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{n}}\left( 1-nt\right) dt\quad \because x_{n}\text{の定義} \\
&=&\left[ t-\frac{n}{2}t^{2}\right] _{0}^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{1}{n}-\frac{n}{2}\left( \frac{1}{n}\right) ^{2} \\
&=&\frac{1}{n}-\frac{1}{2n} \\
&=&\frac{1}{2n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }d\left( x_{n},x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{1}{2n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

点列が収束しないことの証明

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束することと、数列\(d\left(x_{n},a\right) \)が\(0\)へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、数列\(d\left( x_{n},a\right) \)が\(0\)へ収束しない場合、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は点\(a\)へ収束しません。さらに、いかなる点\(a\in X\)についても数列\(d\left( x_{n},a\right) \)が\(0\)へ収束しない場合、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はいかなる点\(a\in X\)へも収束しないため、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)が発散することを意味します。

例(点列が収束しないことの証明)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して実数\(x_{n}\in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像であり、これは数列に他なりません。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(n\)は限りなく小さくなるため、この点列は発散することが予想されます。これを示します。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ d\left( x_{n},a\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},a\right) &=&d\left( n,a\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\vert n-a\right\vert
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }d\left( x_{n},a\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left\vert x-a\right\vert \\
&=&\left\vert \lim_{n\rightarrow \infty }\left( x-a\right) \right\vert \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)について同様であるため、先の命題より、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は発散することが明らかになりました。

 

演習問題

問題(数列を用いた点列の収束判定)
有界閉区間\(\left[ -1,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ -1,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ -1,1\right] \times C\left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{-1}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ -1,1\right]\times C\left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ -1,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ -1,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ -1,1\right] \)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ -1,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ -1\leq t<-\frac{1}{n}\right) \\
1+nt & \left( if\ -\frac{1}{n}\leq t<0\right) \\
1-nt & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ -1,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(x:\left[-1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(数列を用いた点列の収束判定)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ 0,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ 0,1\right]\)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =ne^{-n^{2}t}
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(x:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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