ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理が成り立たない距離空間の例

実数空間\(\mathbb{R} \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定める。以上の距離\(d\)のもとでは、\(\mathbb{R} \)上の任意の有界な数列は\(\mathbb{R} \)上の点へ収束する部分列を持つことが保証される。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定める。以上の距離\(d\)のもとで、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の有界な点列は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束する部分列を持つことが保証される。

離散距離\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。特に、以下の集合\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \end{equation*}上に定義された離散空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)に注目します。その上で、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられる\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。つまり、\begin{equation*}\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ 1,2,3,4,\cdots \right\}
\end{equation*}です。この点列は有界である一方で、その任意の部分列が収束しないことを示します。まずは、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall n,m\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x_{m}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを示します。\(n,m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(d\)の定義より、\begin{equation*}d\left( x_{n},x_{m}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ n=m\right) \\
1 & \left( if\ n\not=m\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\exists 2>0,\ \forall n,m\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x_{m}\right) <2
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることが示されました。続いて点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列が収束しないことを示します。そこで、何らかの点\(a\in \mathbb{R} \)に収束する部分列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} \)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。点列の極限の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{l\left( n\right) },a\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちます。この命題は任意の\(\varepsilon >0\)について成り立つため\(\varepsilon =\frac{1}{2}\)とすると、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{l\left( n\right) },a\right) <\frac{1}{2}\right] \end{equation*}を得ます。離散距離\(d\)のもとで点\(a\in X\)からの距離が\(\frac{1}{2}\)より小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の点は\(a\)自身だけであるため、このとき、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{l\left( n\right) }=a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right)}\right\} \)の第\(N\)項以降の項はすべて\(a\)です。その一方で、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は、\begin{equation*}\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ 1,2,3,4,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列は等しい項を持ちません。したがって、先のような部分列\(\left\{ x_{l\left(n\right) }\right\} \)が存在することは矛盾であり、したがって背理法より\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} \)は収束しないことが明らかになりました。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列について同様の議論が成立するため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列は収束しないことが明らかになりました。

本文中では、その任意の部分列が収束しない有界点列が存在するような距離空間の例を挙げましたが、他にもそのような距離空間は存在するでしょうか。具体例を挙げてください。