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TOPOLOGY OF METRIC SPACE

距離空間の位相

OVERVIEW

距離空間の位相

距離空間上の点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質について解説します。
TABLE OF CONTENTS

目次

OPEN SET / CLOSED SET

近傍・開集合・閉集合

距離空間上の開集合や閉集合などについて解説します。

距離空間における点の近傍・近傍系

距離空間上の点aと正の実数εが与えられたとき、点aからの距離がεよりも小さい場所にある点を集めてできる距離空間の部分集合を点aの近傍と呼びます。

距離空間における開集合・開集合系

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、Aを距離空間上の開集合と呼びます。

INTERIOR / EXTERIOR / FRONTIER

内部・外部・境界

距離空間の部分集合の内部、外部、および境界について解説します。

距離空間における内点・内部

距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの部分集合になるものが存在するならば、aをAの内点と呼びます。また、Aのすべての内点を集めてできる集合をAの内部と呼びます。

距離空間における外点・外部

距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの補集合の部分集合になるものが存在するならば、aをAの外点と呼びます。また、Aのすべての外点を集めてできる集合をAの外部と呼びます。

距離空間における境界点・境界

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAとAの補集合の双方と交わるならば、aをAの境界点と呼びます。また、Aのすべての境界点からなる集合をAの境界と呼びます。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

距離空間の定義

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離概念の中の1つに過ぎません。公理主義の立場から距離空間と呼ばれる概念を定義します。

ユークリッド空間

ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像(ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数)の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。

距離空間上の点列

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

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