距離空間の位相

任意の距離空間は第1可算公理を満たします。つまり、距離空間上の点を任意に選んだとき、その点の可算な基本近傍系が必ず存在します。

距離空間の開集合系の可算な部分集合が存在し、任意の開集合をその部分集合に属する開集合の和集合として表現できる場合、その距離空間は第2可算公理を満たすと言います。

距離空間において任意の開被覆が可算部分被覆を持つ場合、そのような距離空間をリンデレーフ空間と呼びます。距離空間がリンデレーフ空間であることと、その距離空間が第2可算公理を満たすことは必要十分です。

距離空間の部分集合の閉包が距離空間と一致する場合、そのような部分集合を稠密部分集合と呼びます。距離空間上の点を任意に選んだとき、その点のいくらでも近い場所に稠密部分集合の要素が無数に存在します。

距離空間が可算集合であるような稠密部分集合を持つ場合、そのような距離空間を可分空間と呼びます。距離空間が可分であること、第2可算公理を満たすこと、リンデレーフ空間であることは必要十分です。