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距離空間の位相

距離空間上の点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質について解説します。

学習内容

近傍・開集合・閉集合

距離空間上の開集合や閉集合などについて解説します。

距離空間における点の近傍・近傍系

距離空間上の点aと正の実数εが与えられたとき、点aからの距離がεよりも小さい場所にある点を集めてできる距離空間の部分集合を点aの近傍と呼びます。

距離空間における開集合・開集合系

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、Aを距離空間上の開集合と呼びます。

距離空間における閉集合・閉集合系

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、その距離空間上におけるAの補集合が開集合である場合には、Aは閉集合であると言います。

点列を用いた距離空間上の開集合・閉集合の判定

距離空間の部分集合が閉集合や開集合であること（ではないこと）を判定するために点列や数列を用いる方法について解説します。

内部・外部・境界

距離空間の部分集合の内部、外部、および境界について解説します。

距離空間における内点・内部

距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの部分集合になるものが存在するならば、aをAの内点と呼びます。また、Aのすべての内点を集めてできる集合をAの内部と呼びます。

距離空間における外点・外部

距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの点aを中心とする開近傍の中にAの補集合の部分集合になるものが存在するならば、aをAの外点と呼びます。また、Aのすべての外点を集めてできる集合をAの外部と呼びます。

距離空間における境界点・境界

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAとAの補集合の双方と交わるならば、aをAの境界点と呼びます。また、Aのすべての境界点からなる集合をAの境界と呼びます。

触点・集積点・孤立点

距離空間の部分集合の触点、集積点および孤立点について解説します。

距離空間における触点・閉包

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAと交わるならば、aをAの触点と呼びます。また、Aのすべての触点からなる集合をAの閉包と呼びます。

距離空間における集積点・導集合

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がaとは異なるAの点を要素として持つ場合、この点aをAの集積点や極限点などと呼びます。

距離空間における孤立点

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの点の中でもAの集積点ではないものをAの孤立点と呼びます。

コンパクト性

距離空間上のコンパクト集合やコンパクト距離空間などについて解説します。

距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）の定義と具体例

距離空間の部分集合の任意の開被覆が有限部分被覆を持つ場合、そのような集合をコンパクト集合と呼びます。また、コンパクト集合であるような距離空間をコンパクト距離空間と呼びます。

集積点を用いた距離空間上のコンパクト集合の表現（集積点定理）

距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Aの任意の無限部分集合がA上に集積点を持つことは、AがX上のコンパクト集合であるための必要十分条件です。

距離空間上の点列コンパクト集合（点列コンパクト距離空間）

距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、A上の任意の点列がAの点へ収束する部分列を持つ場合にはAを点列コンパクト集合と呼びます。距離空間の部分集合が点列コンパクトであることとコンパクトであることは必要十分です。

完備な全有界集合としての距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）

距離空間Xの部分集合Aが完備かつ全有界であることは、Aがコンパクト集合であることと必要十分です。以上の結果はハイネ・ボレルの被覆定理の一般化です。

可算性

可算公理などについて解説します。

距離空間と第1可算公理

任意の距離空間は第1可算公理を満たします。つまり、距離空間上の点を任意に選んだとき、その点の可算な基本近傍系が必ず存在します。

距離空間と第2可算公理

距離空間の開集合系の可算な部分集合が存在し、任意の開集合をその部分集合に属する開集合の和集合として表現できる場合、その距離空間は第2可算公理を満たすと言います。

距離空間とリンデレーフの被覆定理

距離空間において任意の開被覆が可算部分被覆を持つ場合、そのような距離空間をリンデレーフ空間と呼びます。距離空間がリンデレーフ空間であることと、その距離空間が第2可算公理を満たすことは必要十分です。

距離空間の稠密部分集合

距離空間の部分集合の閉包が距離空間と一致する場合、そのような部分集合を稠密部分集合と呼びます。距離空間上の点を任意に選んだとき、その点のいくらでも近い場所に稠密部分集合の要素が無数に存在します。

距離空間と可分空間

距離空間が可算集合であるような稠密部分集合を持つ場合、そのような距離空間を可分空間と呼びます。距離空間が可分であること、第2可算公理を満たすこと、リンデレーフ空間であることは必要十分です。

連結性

距離空間上の連結集合や連結距離空間などについて解説します。

距離空間において分離している2つの集合

距離空間の2つの部分集合が互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たない場合、それらの集合は分離していると言います。分離の概念は触点や開集合を用いて表現することもできます。

距離空間における連結集合・非連結集合（連結距離空間・非連結距離空間）

距離空間の部分集合の切断が存在する場合、その集合を非連結集合と呼びます。また、非連結集合ではない集合を連結集合と呼びます。非連結な距離空間を非連結距離空間と呼び、連結な距離空間を連結距離空間と呼びます。

学習ガイド

2026-06-10

学習ガイド

大学の数学カリキュラムとWIISのカリキュラムは何が違うのか

多くの大学では入学後すぐに微分積分学や線形代数学を学び、その後に実数論や位相空間論などの理論的な科目へ進みます。一方、WIISでは論理学・集合論の後に実数論を学び、その上で微分積分学へ進むカリキュラムを採用しています。本記事では、それぞれの考え方とWIISの学習順序のメリットについて解説します。

キーワード：実数論, 数学

最新の議論

距離空間上の点列コンパクト集合（点列コンパクト距離空間） 3件の返信・最終更新 2年前
距離空間における触点・閉包 3件の返信・最終更新 2年前

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