距離空間上の開集合
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。さて、\(X\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(X\)上の開集合（open set on \(X\)）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall x\in X:\left[ x\in
N_{\varepsilon }\left( a\right) \Rightarrow x\in A\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall x\in X:\left[ d\left(
x,a\right) <\varepsilon \Rightarrow x\in A\right]
\end{equation*}と必要十分です。
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。これは\(X\)の部分集合であるため、\(X\)上の開集合であるか検討できます。近傍の性質より、\begin{equation*}\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)が\(X\)上の開集合であることを意味します。
\end{equation*}をとります。この集合は\(X\)上の開集合です（演習問題）。
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。したがって、集合\(A\subset \mathbb{R} \)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because d\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。したがって、集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(d\)の定義より、点\(a\in X\)からの距離が\(1\)未満の場所にある\(X\)上の点は\(a\)自身だけであるため、\(0<\varepsilon \leq 1\)の場合には、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ a\right\} \quad \because 0<\varepsilon \leq 1
\end{eqnarray*}となる一方で、\(\varepsilon >1\)の場合には、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&X\quad \because \varepsilon >1
\end{eqnarray*}となります。結果をまとめると、点\(a\in X\)の近傍は、\begin{equation}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left\{ a\right\} & \left( if\ 0<\varepsilon \leq 1\right) \\
X & \left( if\ \varepsilon >1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。集合\(A\subset X\)が\(X\)上の開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\left( 1\right) \)を踏まえると、以下の条件\begin{equation*}\forall a\in A:\left\{ a\right\} \subset A
\end{equation*}が満たされる場合には\(\left( 2\right) \)は成り立ちます。これは明らかに真であるため、\(A\)は\(X\)上の開集合です。\(X\)の任意の部分集合について同様であるため、離散空間\(X\)の任意の部分集合は\(X\)上の開集合であることが明らかになりました。
開集合ではない集合
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)が\(X\)上の開集合ではないこととは、開集合の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただしこれは、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A^{c}\not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)が開集合でないこととは、\(A\)の少なくとも1つの点について、その点を中心とする任意の近傍が\(A\)の補集合と交わることを意味します。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}をとると、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません（演習問題）。
開集合系
距離空間\(X\)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(X\)の開集合系（system of open sets）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}で表記します。開集合の定義より、\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( X\right) \Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
距離空間\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(X\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(X\)と\(\phi \)はいずれも\(X\)上の開集合であるということです。
\end{equation*}を満たす。
距離空間\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\left(X\right) \)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\left( X\right) \)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。
\Rightarrow \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}を満たす。
上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の開集合を選んだとき、それらの共通部分は開集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a,b\right] \end{equation*}ですが、先に示したように有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合でないため、上の共通部分もまた開集合ではありません。
ちなみに、無限個の開集合の共通部分が開集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-i,b+i\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族に関しては、\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つため、共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( a-1,b+1\right)
\end{equation*}となりますが、有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、上の共通部分もまた開集合です。
距離空間\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\left(X\right) \)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\left( X\right) \)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。
\mathcal{O}\left( X\right) \right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\Lambda \)は任意の集合である。
上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の開集合の和集合は開集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の開集合の和集合は開集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の開集合の共通部分は開集合になるとは限りません。一方、無限個の開集合の和集合は開集合になることが保証されます。
部分距離空間上の開集合
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられたとき、その部分集合\(S\subset X\)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(S\times S\)へ制限して\(d_{S}:S\times S\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in S\times S:d_{S}\left( x,y\right) =d\left(
x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{S}\)を定義すれば、この\(d_{S}\)は距離の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in S:d_{S}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in S:\left[ d_{S}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in S:d_{S}(x,y)=d_{S}\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in S:d_{S}\left( x,z\right) \leq
d_{S}\left( x,y\right) +d_{S}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( S,d_{S}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。
部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その部分集合が開集合であるか検討できます。具体的には以下の通りです。
距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(a\in S\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(S\)の点からなる集合であり、これを、\begin{equation*}N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) =\left\{ x\in S\ |\ d_{S}\left(
x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記します。部分距離空間の部分集合\(A\subset S\)が\(S\)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(A\)の点\(a\)を任意に選んだときに、点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は\(S\)上の開集合です。ただし、上の定義で用いている近傍\(N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) \)は部分距離空間\(S\)における点\(a\)の近傍であり、もとの距離空間\(X\)における点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}ではないことに注意してください。
距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)が与えられているとき、\(S\)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(S\)の開集合系と呼び、これを、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( S\right)
\end{equation*}で表記します。開集合の定義より、\(S\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( S\right) \Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)が与えられているものとします。部分距離空間の部分集合\(A\subset S\)が\(S\)上の開集合であるものとします。\(S\subset X\)ゆえに\(A\subset X\)であるため、この集合\(A\)がもとの距離空間\(X\)上においても開集合であるか検討できますが、\(A\)は\(X\)上の開集合であるとは限りません。つまり、\(A\subset S\)について、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( S\right) \Rightarrow A\in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。以下の部分集合\begin{equation*}
S=\left[ 0,1\right] \end{equation*}に注目した上で部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)をとります。以下の集合\begin{equation*}\left[ 0,\frac{1}{2}\right) \subset S
\end{equation*}は部分距離空間\(\left(S,d_{S}\right) \)上の開集合である一方で、もとの距離空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上において開集合ではありません（演習問題）。
距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)が与えられているものとします。部分距離空間の部分集合\(A\subset S\)が\(S\)上の開集合であるものとします。つまり、\(A\in \mathcal{O}\left( S\right) \)が成り立つということです。この場合には、もとの距離空間\(X\)上の何らかの開集合\(B\in \mathcal{O}\left( X\right) \)を用いて、\begin{equation*}A=B\cap S
\end{equation*}と表現できることが保証されます。つまり、部分距離空間\(S\)上の開集合\(A\)は、もとの距離空間\(X\)上の何らかの開集合\(B\)と部分距離空間\(S\)の共通部分として表すことができるということです。逆も成立するため以下を得ます。
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}と定めます。以下の部分集合\begin{equation*}
S=\left[ 0,1\right] \end{equation*}に注目した上で部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)をとります。以下の集合\begin{equation*}\left[ 0,\frac{1}{2}\right) \subset S
\end{equation*}に注目します。有界開区間\(\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \)はもとの距離空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上の開集合であるとともに、\begin{equation*}\left[ 0,\frac{1}{2}\right) =\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \cap \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成立します。つまり、\begin{equation*}
\exists \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) :\left[ 0,\frac{1}{2}\right) =\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\cap S
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\left[ 0,\frac{1}{2}\right) \)は部分距離空間\(\left(S,d_{S}\right) \)上の開集合であることが明らかになりました。つまり、\begin{equation*}\left[ 0,\frac{1}{2}\right) \in \mathcal{O}\left( S\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
開集合は集合や距離関数に依存する
距離空間の部分集合が開集合であるかどうかは採用する距離関数に依存します。つまり、集合\(X\)を共有する2つの異なる距離空間\(\left( X,d_{1}\right) ,\left( X,d_{2}\right) \)が与えられた状況において特定の部分集合\(A\subset X\)に注目したとき、\(\left( X,d_{1}\right) \)のもとでは\(A\)が\(X\)上の開集合である一方で、\(\left( X,d_{2}\right) \)のもとでは\(A\)が\(X\)上の開集合ではない状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
距離空間の部分集合が開集合であるかどうかは採用する集合に依存します。つまり、距離関数\(d\)を共有する2つの異なる距離空間\(\left( X_{1},d\right) ,\left( X_{2},d\right) \)が与えられた状況において\(A\subset X_{1}\)と\(A\subset X_{2}\)をともに満たす集合\(A\)に注目したとき、\(\left( X_{1},d\right) \)のもとで\(A\)が\(X_{1}\)上の開集合である一方で、\(\left( X_{2},d\right) \)のもとで\(A\)は\(X_{2}\)上の開集合ではない状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
演習問題
\end{equation*}をとります。この集合は\(X\)上の開集合であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
\end{equation*}と定めます。また、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d_{2}\right) \)は距離空間であり、距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)がいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるならば、これらの直積\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\times \cdots \times A_{n}
\end{equation*}はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため\(\left( \left[ 0,1\right] ,d\right) \)もまた距離空間です。以下の集合\begin{equation*}\left[ 0,\frac{1}{2}\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}は先の2つの距離空間の部分集合ですが、\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上の開集合ではない一方で、\(\left( \left[ 0,1\right] ,d\right) \)上の開集合であることを示してください。
\end{equation*}をとります。この集合\(\left\{ a\right\} \)が開集合になるような距離空間\(\left(X,d\right) \)は存在するでしょうか。議論してください。
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