点列を用いた閉集合の判定
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。さらに、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上の開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。また、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上の閉集合であることとは、その補集合\begin{equation*}A^{c}=X\backslash A
\end{equation*}が\(X\)上の開集合であること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(A\)の補集合の点\(a\)を任意に選んだときに、点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は\(X\)上の閉集合です。ただ、\(A\)が閉集合であることを示すために以上のことを証明するのは面倒です。閉集合は点列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が閉集合であることを容易に示すことができることがあります。順を追って説明します。
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。その上で、\(A\)の点を項とするとともに収束する点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in X
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般には、このような点列の極限は\(A\)の点であるとは限りません。しかし、\(A\)が\(X\)上の閉集合である場合には、このような点列の極限は必ず\(A\)の点になります。つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in A
\end{equation*}が成り立つということです。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、\(A\)の点を項とするとともに収束する点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in X
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般には、このような点列の極限は\(A\)の点であるとは限りません。しかし、このような点列の極限が必ず\(A\)の点になる場合には、\(A\)は\(X\)上の閉集合であることが保証されます。
この命題について注意しなければならないのは、\(A\)の点を項とする「任意の」収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、その極限が\(A\)の点になることが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。
以上の2つの命題より、閉集合という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
上の命題より、閉集合に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。
\end{equation*}を構成します。この集合\(\left\{ a\right\} \)が\(X\)上の閉集合であることを点列を用いて示します。そこで、\(\left\{ a\right\} \)の要素を項として持つ収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。ただし、\(\left\{ a\right\} \)は1点集合であるため、\(\left\{ a\right\} \)の要素を項として持つ点列\(\left\{x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、その一般項は、\begin{equation*}x_{n}=a
\end{equation*}となります。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は点\(a\)へ収束します。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちます。実際、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義より、上の命題は、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( a,a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}と必要十分であり、さらに距離関数\(d\)の不可識別者同一性より\(d\left( a,a\right) =0\)であることを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分ですが、これは明らかに真です。以上より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。以上の事実と、\begin{equation*}
a\in \left\{ a\right\}
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}\in \left\{ a\right\}
\end{equation*}を得ます。したがって\(\left\{ a\right\} \)が\(X\)上の閉集合であることが示されました。
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}をとります。この集合\(\left[ a,b\right] \)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを点列を用いて示します。そこで、\(\left[ a,b\right] \)の点を項とする収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :a\leq x_{n}\leq b \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)が成り立つとき、\(\mathbb{R} \)上の収束点列の性質より、極限に関しても、\begin{equation*}a\leq \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることが示されました。
点列を用いた閉集合ではないことの判定
繰り返しになりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上の閉集合であることは、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が\(A\)の点になることと必要十分です。したがって、\(A\)の点を項とする収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の中にその極限が\(A\)の点にならないようなものが存在する場合、\(A\)は\(X\)上の閉集合ではありません。
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これを端点とする無限半開区間\begin{equation*}\left( a,+\infty \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\}
\end{equation*}をとります。この集合\(\left( a,+\infty \right) \)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを点列を用いて示します。点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=a+\frac{1}{n}
\end{equation*}と定義します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(a<a+\frac{1}{n}\)が成り立つため、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項は\(\left( a,+\infty \right) \)の要素です。その一方で、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( a+\frac{1}{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }a+\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&a+0 \\
&=&a
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\left( a,+\infty \right) \)の要素ではありません。したがって\(\left( a,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことが示されました。
数列を用いた閉集合であることの判定
点列の極限と数列の極限の関係について簡単に復習します。距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が与えられており、なおかつ、その極限の候補\(a\in X\)が何らかの事情により明らかになっている状況を想定します。距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は距離空間上の点の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して実数\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めるため、先の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と点\(a\in X\)が与えられれば、一般項が、\begin{equation*}d\left( x_{n},a\right)
\end{equation*}であるような数列\(\left\{d\left( x_{n},a\right) \right\} \)を構成できます。この数列が\(0\)に収束することと、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\)へ収束することは必要十分になることが保証されます。つまり、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}d\left( x_{n},a\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。
以上の事実と先の命題を踏まえると、距離空間上の閉集合を数列を用いて以下のように表現できます。
&&\left( b\right) \ \exists a\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }d\left(
x_{n},a\right) =0
\end{eqnarray*}をともに満たす任意の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\left( c\right) \ a\in A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の任意の部分集合\(A\)が\(X\)上の閉集合であることを数列を用いて示します。そこで、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists a\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }d\left(
x_{n},a\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。\(a\in A\)を示せば目標は達成されるため、以降では\(a\not\in A\)と仮定して矛盾を導きます。このとき\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a
\end{equation*}が成り立ちますが、これと離散距離\(d\)の定義より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},a\right) =1
\end{equation*}となります。つまり、数列\(\left\{ d\left( x_{n},a\right) \right\} \)は任意の項が\(1\)であるような定数数列であるため、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d\left( x_{n},a\right) =1
\end{equation*}となりますが、これは\(\left( b\right) \)と矛盾です。したがって背理法より\(a\in A\)であることが示されました。したがって先の命題より\(A\)は\(X\)上の閉集合です。
数列を用いた閉集合ではないことの判定
繰り返しになりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上の閉集合であることは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists a\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }d\left(
x_{n},a\right) =0
\end{eqnarray*}をともに満たす任意の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\left( c\right) \ a\in A
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の中に\(\left( c\right) \)を満たさないものが存在する場合、\(A\)は\(X\)上の閉集合ではありません。
演習問題
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の任意の部分集合\(A\)が\(X\)上の開集合であることを数列を用いて示してください。
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