距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）の定義と具体例

集合の被覆

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、これに対して\(X\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が存在して、\(A\)が\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合の部分集合になる場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset X \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の被覆（covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)は\(A\)を被覆する（cover）と言うこともできます。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda}\)が有限集合である場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset X \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \Lambda \text{は有限集合}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の有限被覆（finite covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を有限被覆する（finitely cover）と言うこともできます。有限集合\(\Lambda \)は何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と表現できるため、\(A\)の有限被覆を\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)と表現できます。このような事情を踏まえると、\(A\)の有限被覆\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が満たすべき条件を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset
X \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i} \\
&&\left( c\right) \ n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}と表現できます。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda}\)が可算集合である場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset X \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \Lambda \text{は可算集合}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の可算被覆（countable covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を可算被覆する（countably cover）と言うこともできます。可算集合\(\Lambda \)として、\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}を採用すれば、\(A\)の可算被覆を\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)や\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{+\infty }\)などで表記できます。このような事情を踏まえると、\(A\)の可算被覆\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が満たすべき条件を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathbb{N} :A_{i}\subset X \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{eqnarray*}と表現できます。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda}\)の要素がいずれも\(X\)上の開集合である場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の開被覆（opencovering）と呼びます。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)の開集合系を表す記号です。

被覆の部分被覆

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda}\)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset X \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。それに対して、やはり\(A\)の被覆であるような\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分集合が存在する場合には、つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \exists M\subset \Lambda :A\subset \bigcup_{\lambda \in
M}A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つ場合、このような集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の部分被覆（subcovering）と呼びます。これは、被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)が覆われている場合、実際には、部分被覆\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in M}\)の要素である集合さえあれば\(A\)を覆うのに十分であることを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda}\)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset X \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。それに対して、有限集合であるような\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists M\subset \Lambda :A\subset \bigcup_{\lambda \in
M}A_{\lambda } \\
&&\left( d\right) \ M\text{は有限集合}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、このような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆（finite subcover）と呼びます。また、被覆に対してその有限部分被覆が存在する場合、その被覆は有限被覆に落とせる（reducible to a finite cover）と言います。これは、被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)が覆われている場合、実際には、部分被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)の要素である有限個の集合さえあれば\(A\)を覆うのに十分であることを意味します。

コンパクト集合

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在するのであれば、\(A\)を\(X\)上のコンパクト集合（compact set）と呼びます。より正確には、\(X\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。つまり、\(X\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるとは、\(X\)上の開集合からなる集合族によって\(A\)を覆ったつもりでも、実はそれらの中の有限個の開集合によって\(A\)が覆えていることを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるためには、\(A\)の「任意の」開被覆がそれぞれ有限部分被覆が持つ必要があります。言い換えると、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持つものが「存在する」ことを示しただけでは、\(A\)がコンパクト集合であることを示したことになりません。\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の「任意の」開被覆がそれぞれ有限部分被覆を持つことを示す必要があります。

集合はコンパクトであるとは限らない

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを意味します。逆に、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合ではないこととは、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持たないものが存在することを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合はコンパクト集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

コンパクト距離空間

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられたとき、\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(X\)が\(X\)上のコンパクト集合であるか検討できます。\(X\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には、このような距離空間\(X\)をコンパクト距離空間（compact metric space）と呼びます。より正確には、距離空間\(X\)がコンパクト距離空間であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ X\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(X\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ X\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。

条件\(\left( b\right) \)は集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が距離空間\(X\)の被覆であることを意味しますが、先に明らかにしたように、これは以下の条件\begin{equation*}\left( b^{\prime }\right) \ X=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{equation*}と必要十分です。したがって、上の定義において\(\left( b\right) \)を\(\left( b^{\prime}\right) \)に置き換えることができます。つまり、距離空間\(X\)がコンパクト距離空間であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ X=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(X\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ X\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。

距離空間はコンパクトであるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題