距離空間の定義と具体例

距離空間

非空の集合\(X\)を任意に選んだ上で、この集合\(X\)の要素を成分として持つそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、実数\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像\begin{equation*}d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この写像\(d\)が以下の4つの性質を満たすことを公理として定めるとき、\(d\)を距離関数（distance function）や距離（metric）などと呼びます。また、距離関数\(d\)が順序対\(\left( x,y\right) \)に対して定める実数\(d\left( x,y\right) \)と\(x\)から\(y\)への距離（distance \(x\)from \(y\)）と呼びます。

距離関数\(d\)が満たすべき1つ目の公理は、\begin{equation*}\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0
\end{equation*}であり、この性質を非負性（non-negativity）と呼びます。これは、集合\(X\)の点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離が必ず非負の実数になることを意味します。

距離関数\(d\)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \end{equation*}であり、この性質を不可識別者同一性（identity of indiscernibles）や非退化性などと呼びます。これは集合\(X\)の点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離が\(0\)であることと\(x\)と\(y\)が等しい点であることが必要十分であることを意味します。

距離関数\(d\)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right)
\end{equation*}であり、この性質を対称性（symmetry）と呼びます。本来、2つの順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別されるため、それらに対して\(d\)が定める値である\(d\left( x,y\right) \)と\(d\left(y,x\right) \)もまた区別されます。ただし、対称性のもとではこれらの値が一致することが保証されます。つまり、集合\(X\)の点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離と\(y\)から\(x\)への距離が一致することが保証されるということです。このような事情を踏まえると、\(x\)から\(y\)への距離を\(x\)と\(y\)の間の距離（distance betweeen \(x\) and \(y\)）と言っても差し支えありません。

距離関数\(d\)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{equation*}であり、この性質を三角不等式（triangle inequality）と呼びます。これは、集合\(X\)の点\(x,y,z\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(z\)までの距離（左辺）は、\(x\)から\(y\)を経由して\(z\)へ至る場合の距離の合計（右辺）以下になることを意味します。

距離関数を規定する公理は以上の通りです。非空の集合\(X\)に対して定義された写像\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以上の4つの性質を満たすとき、すなわち\(d\)が距離関数である場合には、それらの組\(\left( X,d\right) \)を距離空間（metric space）と呼びます。ただし、距離関数\(d\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、距離空間をシンプルに\(X\)と表記できます。

距離空間を規定する4つの公理\(\left( M_{1}\right) ,\left( M_{2}\right),\left( M_{3}\right) ,\left( M_{4}\right) \)を総称して距離の公理（metric axioms）と呼びます。公理によって距離空間という概念を定義した以上、距離空間に関する主張はすべて距離の公理から導く必要があります。

距離の公理の代替的な表現

点\(x\in X\)を任意に選んだとき\(x=x\)が成り立つため、これと\(d\)の不可識別者同一性より、\begin{equation*}d\left( x,x\right) =0
\end{equation*}を得ます。つまり、点\(x\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(x\)自身への距離は\(0\)です。

\(x\not=y\)を満たす点\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\not=y &\Rightarrow &d(x,y)\not=0\quad \because d\text{の不可識別者同一性} \\
&\Leftrightarrow &d(x,y)\not=0\wedge d\left( x,y\right) \geq 0\quad \because
d\text{の非負性} \\
&\Leftrightarrow &d\left( x,y\right) >0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\not=y\Rightarrow d\left( x,y\right) >0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、異なる2つの点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y \)への距離は正になります。

距離関数の非負性と不可識別者同一性から上の2つの命題を導きましたが、逆に、上の2つの命題から非負性と不可識別者同一性を導くことができます。したがって以下を得ます。

以上の命題を踏まえると、距離空間を以下のように表現することもできます。

逆三角不等式

距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は三角不等式\begin{equation*}\forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left(
y,z\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されますが、これは2つの点\(x,z\)の間の距離（左辺）が、第3の点\(y\)を経由する場合の距離（右辺）を上回らないことを意味します。つまり、三角不等式は2つの点\(x,z\)の間の距離の上界を具体的に提示しているとも言えます。

距離空間の公理を用いることにより、以下の命題\begin{equation*}
\forall x,y,z\in X:\left\vert d\left( x,y\right) -d\left( y,z\right)
\right\vert \leq d\left( x,z\right)
\end{equation*}が導かれます。これを逆三角不等式（reverse trianble inequality）と呼びます。三角不等式とは逆に、逆三角不等式は2つの点\(x,z\)の間の距離の下界を具体的に提示しています。

距離空間の具体例：実数空間

実数空間\(\mathbb{R} \)の点を成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定める関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。つまり、\(d\left( x,y\right) \)は数直線上における2つの点\(x,y\)の間の距離です。

絶対値の性質を踏まえると、先の関数\(d\)が距離の公理を満たすことが示されるため\(d\)は距離関数であり、したがって\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間です。

距離空間の具体例：複素数空間

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、これは何らかの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}z=a+bi
\end{equation*}と表すことができます。ただし、\(i\)は虚数単位です。\(a\)を\(z\)の実部（real part）と呼び、\(b\)を\(z\)の虚部（imaginary part）と呼びます。以上を踏まえると、複素数を実部と虚部に相当する2つの実数を成分とする順序対\begin{equation*}z=\left( a,b\right)
\end{equation*}と同一視できます。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、これは何らかの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}z=\left( a,b\right)
\end{equation*}と表されます。そこで、複素数\(z\)の絶対値（absolute value）を、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\end{equation*}と定義します。ちなみに、複素数\(z\)の絶対値を\(z\)のモジュラス（modulus）と呼ぶ場合もあります。

2つの絶対値\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、これは何らかの実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}z &=&\left( a,b\right) \\
w &=&\left( c,d\right)
\end{eqnarray*}と表されます。その上で、複素数を成分とするそれぞれの順序対\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( z,w\right) &=&\left\vert z-w\right\vert \\
&=&\left\vert \left( a-c,b-d\right) \right\vert \\
&=&\sqrt{\left( a-c\right) ^{2}+\left( b-d\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を値として定める関数\(d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

先の関数\(d\)が距離の公理を満たすことが示されるため\(d\)は距離関数であり、したがって\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)は距離空間です。

距離空間の具体例：ユークリッド距離

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{eqnarray*}を定める関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。つまり、\(d\)はユークリッド距離関数であり、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)はユークリッド空間です。

ユークリッド距離関数は距離の公理を満たすため距離関数であり、したがって\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。つまり、ユークリッド空間は距離空間の1つの例であり、逆に、距離空間はユークリッド空間の一般化です。

距離空間の具体例：内積に関する距離

実ベクトル空間の点\(a,b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらの内積は、\begin{equation*}a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}\left( a_{i}\cdot b_{i}\right)
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x-y\right) \cdot \left( x-y\right) }
\end{equation*}を定める関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

内積の性質を踏まえると、先の関数\(d\)が距離の公理を満たすことが示されるため\(d\)は距離関数であり、したがって\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。

距離空間の具体例：ノルムに関する距離

実ベクトル空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、そのノルムは、\begin{equation*}\left\Vert a\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}を定める関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

ノルムの性質を踏まえると、先の関数\(d\)が距離の公理を満たすことが示されるため\(d\)は距離関数であり、したがって\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。

距離空間の具体例：離散距離空間

非空の集合\(X\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。このような関数\(d\)を離散距離（discrete distance）や自明の距離（trivial distance）などと呼び、\(\left( X,d\right) \)を離散距離空間（discrete metric space）や自明な距離空間（trivial metric space）などと呼びます。

離散距離空間は距離空間です。

距離空間の具体例：マンハッタン距離空間

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点を成分とするそれぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert +\left\vert
x_{2}-y_{2}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{eqnarray*}を定める関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。このような関数\(d\)をマンハッタン距離（Manhattan distance）と呼び、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)をマンハッタン距離空間（Manhattan metric space）と呼びます。

マンハッタン距離空間は距離空間です。

距離空間の具体例：チェビシェフ距離空間

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点を成分とするそれぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\max \left\{ \left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert
,\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert ,\cdots ,\left\vert
x_{n}-y_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}を定める関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合は最大値を必ず持つため、\begin{equation*}\max \left\{ \left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert ,\left\vert
x_{2}-y_{2}\right\vert ,\cdots ,\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}すなわち\(d\left( x,y\right) \)が1つの実数として定まります。したがって\(d\)は関数として定義可能です。このような関数\(d\)をチェビシェフ距離（Chebyshev distance）と呼び、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)をチェビシェフ距離空間（Chebyshev metric space）と呼びます。

チェビシェフ距離空間は距離空間です。

距離空間の具体例：連続関数の差の絶対値の定積分

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)をとります。その上で、\(\left[ a,b\right] \)上に定義された連続な実数値関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}C\left[ a,b\right] =\left\{ f\ |\ f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \text{は連続関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。この集合の要素である2つの関数\(f,g\in C\left[ a,b\right] \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left\vert f-g\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
-g\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
\left\vert f-g\right\vert :\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。連続関数の差は連続であるため\(f-g\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、その絶対値をとった\(\left\vert f-g\right\vert \)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で連続です。連続関数の定積分は有限な実数として定まるため、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left\vert f-g\right\vert \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) -g\left( x\right) \right\vert dx
\end{equation*}は有限な実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(C\left[ a,b\right] \)の要素である関数を成分とするそれぞれの順序対\(\left( f,g\right) \in C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{a}^{b}\left\vert f-g\right\vert \left( x\right) dx
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
d:C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

先の関数\(d\)が距離の公理を満たすことが示されるため\(d\)は距離関数であり、したがって\(\left( C\left[ a,b\right] ,d\right) \)は距離空間です。

距離空間の具体例：ヒルベルト空間

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots
\end{equation*}を定義します。この無限級数\(\sum x_{n}^{2}\)が収束することとは、数列\(\left\{ x_{n}^{2}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}s_{n}=\sum_{v=1}^{n}x_{v}^{2}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{v=1}^{n}x_{v}^{2}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味し、この場合、無限級数\(\sum x_{n}^{2}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}^{2}=\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{v=1}^{n}x_{v}^{2}
\end{equation*}と定めます。また、無限級数\(\sum x_{n}^{2}\)が収束することを、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}^{2}<+\infty
\end{equation*}で表記します。

上の例から明らかであるように、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が与えられたとき、そこから定義される無限級数\(\sum x_{n}^{2}\)は収束するとは限りません。そこで、無限級数\(\sum x_{n}^{2}\)が収束するような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{\infty }=\left\{ \left\{ x_{n}\right\} \ |\ \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}^{2}<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。

\(\mathbb{R} ^{\infty }\)の要素である数列\(x=\left\{ x_{n}\right\} \in \mathbb{R} ^{\infty }\)および\(y=\left\{ y_{n}\right\} \in \mathbb{R} ^{\infty }\)を任意に選びます。\(\mathbb{R} ^{\infty }\)の定義より、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}^{2} &<&+\infty \\
\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}^{2} &<&+\infty
\end{eqnarray*}であることに注意してください。その上で、以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}
\end{equation*}を定義します。後に示すように、この無限級数は収束することが保証されます。さらに、その和は非負の実数であるため、正の平方根\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}をとることができ、これが有限な実数として定まることが保証されます。

以上の事情を踏まえると、\(\mathbb{R} ^{\infty }\)の要素を成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) =\left( \left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\}\right) \in \mathbb{R} ^{\infty }\times \mathbb{R} ^{\infty }\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定める関数\(d:\mathbb{R} ^{\infty }\times \mathbb{R} ^{\infty }\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この\(d\)は距離関数であり、したがって\(\left( \mathbb{R} ^{\infty },d\right) \)は距離空間です。このような関数\(d\)をヒルベルト距離（Hilbert distance）と呼び、\(\left( \mathbb{R} ^{\infty },d\right) \)をヒルベルト空間（Hilbert space）と呼びます。

公理主義的アプローチの利点

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離の中の1つに過ぎません。上の例が示唆するように、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離に限定されない様々な数学的対象が距離とみなされます。つまり、公理主義的に距離を定義する場合、ユークリッド距離だけでなく、距離の公理を満たす様々な概念もまた距離とみなされるということです。公理主義にもとづいて距離について議論する場合、その議論は上で例として挙げた様々な距離に関する議論を特殊例として含んでいます。一般の距離に関して成り立つ性質はいずれも、上で例として挙げた様々な距離に関しても成立するということです。距離空間という一般的な舞台で議論を行えば、得られた結論が一般性を持ちます。以上が公理主義的アプローチの利点です。

演習問題