距離空間における全有界集合
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間\(\left( X,d\right) \)上の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。距離関数\(d\)の対称性より、任意の\(a,x\in X\)について、\begin{equation*}d\left( x,a\right) =d\left( a,x\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(a\)が中心であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、中心が\(X\)上の点であり半径が\(\varepsilon \)であるような有限個の近傍によって\(A\)を必ず覆うことができる場合には、\(A\)は\(X\)上において全有界（totally bounded in \(X\)）であるとかプレコンパクト（precompact in \(X\)）であるなどと言います。空集合\(\phi \subset X\)については、これを全有界であるものとみなします。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}n>\frac{1}{\varepsilon }
\end{equation*}を満たす番号\(n\in \mathbb{N} \)を選んだ上で、有限\(n\)個の近傍\begin{gather*}N_{\varepsilon }\left( 1\varepsilon \right) =\left( \varepsilon -\varepsilon
,\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( 0,2\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( 2\varepsilon \right) =\left( 2\varepsilon
-\varepsilon ,2\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( \varepsilon
,3\varepsilon \right) \\
N_{\varepsilon }\left( 3\varepsilon \right) =\left( 3\varepsilon
-\varepsilon ,3\varepsilon +\varepsilon \right) =\left( 2\varepsilon
,4\varepsilon \right) \\
\vdots \\
N_{\varepsilon }\left( n\varepsilon \right) =\left( n\varepsilon
-\varepsilon ,n\varepsilon +\varepsilon \right)
\end{gather*}を構成します。隣り合う2つの近傍は交わるとともに、最後の近傍\(N_{\varepsilon }\left( n\varepsilon \right) \)の右側の端点は、\begin{eqnarray*}n\varepsilon +\varepsilon &>&\frac{1}{\varepsilon }\cdot \varepsilon
+\varepsilon \quad \because n>\frac{1}{\varepsilon } \\
&=&1+\varepsilon \\
&>&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left(
i\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において全有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が有限集合である場合、\(A\)は全有界です（演習問題）。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)は全有界であるとは限りません。\(A\)が全有界ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\not\subset
\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\cap \left(
\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right) \right) ^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が無限集合である場合、\(A\)は全有界ではありません（演習問題）。
全有界な距離空間
距離空間\(\left( X,d\right) \)は自身の部分集合であるため、\(X\)が\(X\)上において全有界であるか検討できます。
距離空間\(X\)が\(X\)上において有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:X\subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)は全有界である（totally bounded）と言います。
距離空間\(X\)上の点\(x_{i}\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right) \)は\(X\)の部分集合であるため、\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right) \subset X
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。したがって、距離空間\(X\)が全有界であることと、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:X=\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。つまり、\(X\)が全有界であることとは、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、半径が\(\varepsilon \)であるような有限個の近傍の和集合として\(X\)を表現できることを意味します。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)が有限集合である場合、\(X\)は全有界です。
距離空間\(X\)は全有界であるとは限りません。\(X\)が全有界ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:X\not\subset
\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:X\cap \left(
\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right) \right) ^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)が無限集合である場合、\(X\)は全有界ではありません。
全有界な距離空間としての全有界な部分集合
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられれば部分距離空間\(\left( A,d\right) \)が得られます。\(A\)が\(X\)上において全有界であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味する一方で、\(\left( A,d\right) \)が全有界な距離空間であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in A:A=\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、以上の2つの命題は必要十分です。
全有界集合と包含関係
全有界集合の部分集合もまた全有界集合です。
全有界な距離空間の部分集合は全有界です。
有界集合と共通部分
任意個の全有界集合の共通部分もまた全有界集合です。
\end{equation*}もまた\(X\)上において全有界である。
先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。つまり、\(\Lambda \)が有限集合である状況を想定すれば、有限個の全有界集合の共通部分は全有界であるという主張になり、\(\Lambda \)が可算ないし非可算な無限集合である状況を想定すれば、無限個の全有界集合の共通部分は全有界であるという主張になります。
全有界集合と和集合
有限個の全有界集合の和集合もまた全有界集合です。
\end{equation*}もまた\(X\)上において全有界である。
無限個の全有界集合の和集合は全有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{n}=\left[ -n,n\right] \end{equation*}と定義すれば、\(A_{n}\)は\(\mathbb{R} \)上の全有界集合になります。その一方で、\begin{eqnarray*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\bigcup_{n\in \mathbb{N} }\left[ -n,n\right] \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上の全有界集合ではありません（演習問題）。
全有開な集合は有界
距離空間の非空な部分集合が全有界である場合、それは必ず有界です。
有開な集合は全有界であるとは限らない
距離空間の非空な部分集合が全有界である場合、それは有界であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、有界集合は全有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が無限集合である場合、\(A\)は有界である一方で全有界ではありません。
実数空間において有界と全有界は必要十分
距離空間の非空な部分集合が有界である場合、それは全有界であるとは限らないことが明らかになりました。一方、ユークリッド距離が定義された実数空間においては、有界な集合は全有界になることが保証されます。したがって以下を得ます。
\end{equation*}を定める。部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(A\)が有界であることと、\(A\)が全有界であることは必要十分である。
演習問題
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が有限集合である場合、\(A\)は全有界であることを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が無限集合である場合、\(A\)は全有界ではないことを示してください。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上で全有界であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{n}=\left[ -n,n\right] \end{equation*}と定義すれば、\(A_{n}\)は\(\mathbb{R} \)上の全有界集合になることを示してください。その一方で、\begin{eqnarray*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\bigcup_{n\in \mathbb{N} }\left[ -n,n\right] \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上の全有界集合ではないことを示してください。
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