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MEASURE

測度

OVERVIEW

測度

測度論のテキストと演習問題です。
長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数をルベーグ可測関数と呼びます。代表的な可測関数について、その性質を解説します。
ルベーグ積分とは測度論を用いてより一般的な関数に対して積分を定義する手法です。ルベーグ積分を用いることにより、リーマン積分では積分できなかった様々な関数が積分可能になります。
微分を一般化したディニ微分と呼ばれる微分概念を導入するとともに、ルベーグ積分との関係について解説します。
ユークリッド空間の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
ユークリッド空間の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

実数

実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。

ユークリッド空間

ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像(ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数)の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。

集合

集合に関するテキストと演習問題です。集合、写像、同値関係、集合の濃度などについて解説します。

微分積分

微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

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