行列

行列の2つの行を入れ替える、特定の行に非ゼロのスカラーを掛ける、ある行に別の行のスカラー倍を加える、などの操作を総称して行基本操作と呼びます。

単位行列に対して行基本操作の中の1つを適用することに得られる行列を行基本行列と呼びます。行列に対して行基本操作を適用することは、基本行列とその行列の行列積をとることと操作として一致します。

行列の2つの列を入れ替える、特定の列に非ゼロのスカラーを掛ける、ある列に別の列のスカラー倍を加える、などの操作を総称して列基本操作と呼びます。

階段行列と呼ばれる行列のクラスを定義するとともに、基本行操作を通じて行列を階段行列へ変形する方法を解説します。

行列にガウス・ジョルダンの消去法を適用することで得られる行既約な階段行列はもとの行列と行同値であるような唯一の行既約な階段行列です。その階段行列に含まれる非ゼロベクトルな行の個数はもとの行列の階数と一致します。

正方行列の行標準形が単位行列であることは、その行列が正則であるための必要十分条件です。行標準形を導出するための行簡約をそのまま単位行列に適用すれば逆行列が得られます。

行列の行空間の基底、行列の列空間の基底、ベクトル集合の線型スパンの基底などを特定する方法について解説します。