行列の階数（行列の行空間と列空間）

行列の行空間

\(m\times n\)行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これは\(m\)個の行\begin{gather*}\mathrm{row}\left( A,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right)
\end{gather*}を持ちますが、これらはいずれも\(n\)次元の行ベクトルであるため、これらの線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)のすべての行の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left( A,m\right)
\end{equation*}という形で表現される\(n\)次元の行ベクトルです。

行列\(A\)のすべての行の線型結合がどのような行ベクトルになるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\)の選び方に依存します。したがって、行列\(A\)の行の線型結合をすべて集めることで得られる集合、すなわち行列\(A\)のすべての行からなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right)
\right\}
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{eqnarray*}
&&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left(
A,m\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。これを行列\(A\)の行空間（row space）と呼び、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right)
\end{equation*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

行列の列空間

\(m\times n\)行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、この行列は\(n\)個の列\begin{gather*}\mathrm{col}\left( A,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{gather*}を持ちますが、これらはいずれも\(m\)次元の列ベクトルであるため、その線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)のすべての列の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{equation*}という形で表現される\(m\)次元の列ベクトルです。

行列\(A\)の列の線型結合がどのような列ベクトルになるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\)の選び方に依存します。したがって、行列\(A\)の列の線型結合をすべて集めることで得られる集合、すなわち行列\(A\)のすべての列からなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\}
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{eqnarray*}
&&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。これを行列\(A\)の列空間（columnspace）と呼び、\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。

行列の行階数

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。

一般に、実ベクトル空間の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(X\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値を\(X\)の次元と呼び、それを、\begin{equation*}\dim X
\end{equation*}で表記します。部分空間\(X\)の次元は\(X\)の基底に含まれるベクトルの個数でもあります。部分空間\(X\)の次元は\(X\)から選ぶことができる線型独立なベクトルの最大個数でもあります。部分空間\(X\)の次元は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元である\(n\)を超えることはなく、したがって、\begin{equation*}\dim X\leq n
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることが明らかになりました。したがって、その次元\begin{equation*}\dim \mathrm{row}\left( A\right)
\end{equation*}をとることができます。これをもとの行列\(A\)の行階数（row rank）と呼びます。これは行列\(A\)の行空間\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right)
\end{equation*}から選ぶことができる線型独立な行ベクトルの最大個数です。行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、\begin{equation*}\dim \mathrm{row}\left( A\right) \leq n
\end{equation*}が成り立ちます。

行列の列階数

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列空間は、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間です。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間であることが明らかになりました。したがって、その次元\begin{equation*}\dim \mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}をとることができます。これをもとの行列\(A\)の列階数（column rank）と呼びます。これは行列\(A\)の列空間\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}から選ぶことができる線型独立な列ベクトルの最大個数です。列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間であるため、\begin{equation*}\dim \mathrm{col}\left( A\right) \leq m
\end{equation*}が成り立ちます。

行列の階数

行列の行階数と列階数は必ず一致します。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、その行階数と列階数は一致すること、すなわち、\begin{equation*}\dim \mathrm{row}\left( A\right) =\dim \mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。そこで、行列\(A\)の行階数と列階数の共通な値を行列\(A\)の階数（rank）と呼び、それを、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right)
\end{equation*}と表記します。定義より、以下の関係\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) =\dim \mathrm{row}\left( A\right) =\dim \mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

演習問題