行列の行標準形
行列に対して行う以下の3種類の操作を総称して行基本操作（elementary row operation）と呼びます。また、行列に対して行基本操作を適用することを行簡約（row reduce）と呼びます。
- 第\(i\)行と第\(j\)行を入れ替える。この操作を、\begin{equation*}\left( E_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j}\end{equation*}で表記する。
- 第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛ける。この操作を、\begin{equation*}\left( E_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right) \end{equation*}で表記する。
- 第\(j\)行のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)行に加える。この操作を、\begin{equation*}\left( E_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}\end{equation*}で表記する。
操作2と操作3を同時に適用することもできます。つまり、第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛けた上で、さらに第\(j\)行のスカラー\(k^{\prime }\in \mathbb{R} \)倍を加えるということです。この一連の操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}+k^{\prime }R_{j}\quad \left( k_{1}\not=0\right)
\end{equation*}で表記します。
行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と行同値（row equivalent）であると言います。
ガウス・ジョルダンの消去法と呼ばれる行基本操作を利用すれば、行列を階段行列や行既約な階段行列へ行簡約できることが明らかになりました。以下が具体例です。
A=\begin{pmatrix}
0 & 2 & -3 & 0 \\
2 & 5 & -2 & 2 \\
1 & 6 & -4 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}は階段行列ではないため、ガウス・ジョルダンの消去法を用いてこれを行既約な階段行列へ行簡約します。具体的には、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
0 & 2 & -3 & 0 \\
2 & 5 & -2 & 2 \\
1 & 6 & -4 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 6 & -4 & 3 \\
2 & 5 & -2 & 2 \\
0 & 2 & -3 & 0\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{3} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 6 & -4 & 3 \\
0 & -7 & 6 & -4 \\
0 & 2 & -3 & 0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 6 & -4 & 3 \\
0 & 1 & -\frac{6}{7} & \frac{4}{7} \\
0 & 2 & -3 & 0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\leftrightarrow -\frac{1}{7}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{8}{7} & -\frac{3}{7} \\
0 & 1 & -\frac{6}{7} & \frac{4}{7} \\
0 & 0 & -\frac{9}{7} & -\frac{8}{7}\end{pmatrix}\quad \because \left\{
\begin{array}{c}
R_{1}\rightarrow R_{1}-6R_{2} \\
R_{3}\rightarrow R_{3}-2R_{2}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となるため、もとの行列\(A\)と行同値であるような階段行列\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{8}{7} & -\frac{3}{7} \\
0 & 1 & -\frac{6}{7} & \frac{4}{7} \\
0 & 0 & -\frac{9}{7} & -\frac{8}{7}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られました。さらにこれを行既約な階段行列へ行簡約すると、\begin{eqnarray*}
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{8}{7} & -\frac{3}{7} \\
0 & 1 & -\frac{6}{7} & \frac{4}{7} \\
0 & 0 & -\frac{9}{7} & -\frac{8}{7}\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{8}{7} & -\frac{3}{7} \\
0 & 1 & -\frac{6}{7} & \frac{4}{7} \\
0 & 0 & 1 & \frac{8}{9}\end{pmatrix}\quad \because R_{3}\rightarrow -\frac{7}{9}R_{3} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{13}{9} \\
0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 1 & \frac{8}{9}\end{pmatrix}\quad \because \left\{
\begin{array}{c}
R_{1}\rightarrow R_{1}-\frac{8}{7}R_{3} \\
R_{2}\rightarrow R_{2}+\frac{6}{7}R_{3}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となるため、\(A\)および\(B\)と行同値であるような行既約な階段行列\begin{equation*}C=\begin{pmatrix}
1^{\ast } & 0 & 0 & -\frac{13}{9} \\
0 & 1^{\ast } & 0 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 1^{\ast } & \frac{8}{9}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られました。ちなみに、記号\(\ast \)がついている成分が各行の主成分です。
行列を行簡約することにより得られる階段行列は一意的に定まりませんが、行既約な階段行列は一意的に定まります。
行列\(A\)が与えられたとき、それと行同値な行既約な階段行列が存在するとともに、それは一意的に定まることが明らかになりました。そこで、行列\(A\)と行同値な行既約な階段行列を\(A\)の行標準形（row canonical form）と呼びます。
行列\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すれば\(A\)と行同値な行既約な階段行列、すなわち\(A\)の行標準形が得られるとともに、それは\(A\)と行同値な唯一の行既約な階段行列であるということです。
A=\begin{pmatrix}
0 & 2 & -3 & 0 \\
2 & 5 & -2 & 2 \\
1 & 6 & -4 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、先に明らかにしたように、行既約な階段行列\begin{equation*}
C=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{13}{9} \\
0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 1 & \frac{8}{9}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。先の命題より、\(C\)は\(A\)の行標準形です。つまり、\(C\)は\(A\)と行同値であるような唯一の行既約な階段行列です。
行列を階段行列へ行簡約しても行空間は変わらない
行列\(A\)を行簡約することにより得られる階段行列を\(B\)で表記し、さらに\(B\)を行簡約することで得られる行既約な階段行列を\(C\)で表記します。ガウス・ジョルダンの消去法は行基本操作であるため、これらの行列\(A,B,C\)は行同値です。
行同値な行列は同じ行空間を持つため、これらの行列\(A,B,C\)は同じ行空間を持ちます。つまり、行列を階段行列や行簡約な階段行列へ行簡約しても行空間は変わらないということです。
A=\begin{pmatrix}
0 & 2 & -3 & 0 \\
2 & 5 & -2 & 2 \\
1 & 6 & -4 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行空間は、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
0,2,-3,0\right) ,\left( 2,5,-2,2\right) ,\left( 1,6,-4,3\right) \right\}
\right)
\end{equation*}です。先に確認したように、行列\(A\)を行簡約すると以下の階段行列\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
2 & 5 & -2 & 2 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 9 & 8\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。\(B\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( B\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
2,5,-2,2\right) ,\left( 0,2,-3,0\right) ,\left( 0,0,9,8\right) \right\}
\right)
\end{equation*}です。先に確認したように、階段行列\(B\)を行簡約すると以下の行既約な階段行列\begin{equation*}C=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{13}{9} \\
0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 1 & \frac{8}{9}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。\(C\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( C\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1,0,0,-\frac{13}{9}\right) ,\left( 0,1,0,\frac{4}{3}\right) ,\left( 0,0,1,\frac{8}{9}\right) \right\} \right)
\end{equation*}です。先の命題より、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right) =\mathrm{row}\left(
C\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
階段行列の非ゼロベクトルであるような行どうしは線型独立
階段行列の非ゼロベクトルであるような行をすべて集めることにより得られるベクトル集合は線型独立になります。
\begin{pmatrix}
2 & 5 & -2 & 2 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 9 & 8\end{pmatrix}\end{equation*}は階段行列です。この行列の行の中でも非ゼロベクトルであるようなものを集めるとベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \left( 2,5,-2,2\right) ,\left( 0,2,-3,0\right) ,\left(
0,0,9,8\right) \right\}
\end{equation*}が得られます。先の命題より、このベクトル集合は線型独立であるはずです。実際、変数\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)に関するベクトル方程式\begin{equation*}k_{1}\left( 2,5,-2,2\right) +k_{2}\left( 0,2,-3,0\right) +k_{3}\left(
0,0,9,8\right) =\left( 0,0,0,0\right)
\end{equation*}は以下の連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
2k_{1}=0 \\
5k_{1}+2k_{2}=0 \\
-2k_{1}-3k_{2}+9k_{3}=0 \\
2k_{1}+8k_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}と必要十分であり、これを解くと、\begin{equation*}
\left( k_{1},k_{2},k_{3}\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}を得るため、先のベクトル集合は線型独立であることが確認されました。
行既約な階段行列もまた階段行列であるため、同様の主張が成り立ちます。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{13}{9} \\
0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 1 & \frac{8}{9}\end{pmatrix}\end{equation*}は行既約な階段行列です。この行列の行の中でも非ゼロベクトルであるようなものを集めるとベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \left( 1,0,0,-\frac{13}{9}\right) ,\left( 0,1,0,\frac{4}{3}\right)
,\left( 0,0,1,\frac{8}{9}\right) \right\}
\end{equation*}が得られます。先の命題より、このベクトル集合は線型独立であるはずです。実際、変数\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)に関するベクトル方程式\begin{equation*}k_{1}\left( 1,0,0,-\frac{13}{9}\right) +k_{2}\left( 0,1,0,\frac{4}{3}\right)
+k_{3}\left( 0,0,1,\frac{8}{9}\right) =\left( 0,0,0,0\right)
\end{equation*}は以下の連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
k_{1}=0 \\
k_{2}=0 \\
k_{3}=0 \\
-\frac{13}{9}k_{1}+\frac{4}{3}k_{2}+\frac{8}{9}k_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}と必要十分であり、これを解くと、\begin{equation*}
\left( k_{1},k_{2},k_{3}\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}を得るため、先のベクトル集合は線型独立であることが確認されました。
行標準形と行列の階数
これまでの議論を総合することにより、行列の行標準形を通じて、もとの行列の階数を特定できることが明らかになります。具体的には以下の通りです。
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用すれば\(A\)と行同値な行既約な階段行列、すなわち\(A\)の行標準形が得られるとともに、それは\(A\)と行同値であるような唯一の行既約な階段行列であることが保証されます。行列\(A\)の行標準形を\(B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。
行列の階数はその行列の行階数と一致するため、行列\(A\)についても、\begin{equation}\mathrm{rank}\left( A\right) =\dim \mathrm{row}\left( A\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。
行列\(A\)とその行標準形\(B \)は行同値ですが、2つの行列が行同値である場合には両者の行空間は一致するため、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、2つの行列の行空間が一致する場合には両者の行階数は一致するため、\begin{equation}
\dim \mathrm{row}\left( A\right) =\dim \mathrm{row}\left( B\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ちなみに、行列の行階数とは、その行列の行空間から選ぶことができる線型独立な行ベクトルの最大個数です。
行既約な階段行列に含まれる非ゼロベクトルであるような行からなるベクトル集合は線型独立であるため、行既約な階段行列の行階数は、非ゼロベクトルであるような行の個数と一致します。したがって、行列\(A\)の行標準形\(B \)について、\begin{equation}\dim \mathrm{row}\left( B\right) =B\text{に含まれる非ゼロベクトルであるような行の個数}
\quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。
階段行列の行が非ゼロベクトルであることと、その行の中に主成分が存在することは必要十分であるため、行列\(A\)の行標準形\(B\)についても、\begin{equation}B\text{に含まれる非ゼロベクトルであるような行の個数}=B\text{に含まれる主成分の個数} \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。
以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\mathrm{rank}\left( A\right) &=&\dim \mathrm{row}\left( A\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\dim \mathrm{row}\left( B\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&B\text{に含まれる非ゼロベクトルであるような行の個数} \quad \because \left( 3\right) \\
&=&B\text{に含まれる主成分の個数} \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことが明らかになりました。
つまり、行列\(A\)の階数を特定するためには、\(A\)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用することにより\(A\)を行既約な階段行列、すなわち行標準形\(B\)へ行簡約し、得られた行標準形\(B\)に含まれる主成分の個数を数えればよいということです。加えて、行列\(A\)の行標準形\(B\)は一意的に定まるため、行列\(A\)の階数もまた一意的に定まります。
A=\begin{pmatrix}
0 & 2 & -3 & 0 \\
2 & 5 & -2 & 2 \\
1 & 6 & -4 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、先に明らかにしたように、\(A\)の行標準形が、\begin{equation*}C=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{13}{9} \\
0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\
0 & 0 & 1 & \frac{8}{9}\end{pmatrix}\end{equation*}と定まります。\(C\)の中には主成分が\(3\)個存在するため、先の命題より、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =3
\end{equation*}となります。
演習問題
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}を行標準形に行簡約した上で、\(A\)の階数を求めてください。
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 \\
3 & -2 & -3\end{pmatrix}\end{equation*}を行標準形に行簡約した上で、\(A\)の階数を求めてください。
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
4 & -3 & -1 \\
3 & -1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}を行標準形に行簡約した上で、\(A\)の階数を求めてください。
\end{equation*}が成り立つということです。では、逆の主張もまた成り立つでしょうか。つまり、2つの行列\(A,B\)の階数が一致する場合、両者は行同値であると言えるでしょうか。議論してください。
\begin{pmatrix}
a & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1-a\end{pmatrix}\in M_{3,3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}の階数を求めてください。
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