行列の列基本操作（列同値な行列）

行列の列基本操作

行列に対して行う以下の3種類の操作を総称して列基本操作（elementary column operation）と呼びます。また、行列に対して基本列操作を適用することを列簡約（column reduce）と呼びます。

1. 第\(i\)列と第\(j\)列を交換する。この操作を、\begin{equation*}C_{i}\leftrightarrow C_{j}\end{equation*}で表記する。
2. 第\(i\)列に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛ける。この操作を、\begin{equation*}C_{i}\rightarrow kC_{i}\quad \left( k\not=0\right) \end{equation*}で表記する。
3. 第\(j\)列のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)列に加える。この操作を、\begin{equation*}C_{i}\rightarrow C_{i}+kC_{j}\end{equation*}で表記する。

操作2と操作3を同時に適用することもできます。つまり、第\(i\)列に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛けた上で、さらに第\(j\)列のスカラー\(k^{\prime }\in \mathbb{R} \)倍を加えるということです。この一連の操作を、\begin{equation*}C_{i}\rightarrow kC_{i}+k^{\prime }C_{j}\quad \left( k\not=0\right)
\end{equation*}で表記します。

列同値な行列

行列\(A\)に対して列基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と列同値（column equivalent）であると言います。

行列の列基本操作の逆操作

行列の列基本操作とは以下の3種類の操作\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ C_{i}\leftrightarrow C_{j} \\
&&\left( E_{2}\right) \ C_{i}\rightarrow kC_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\\
&&\left( E_{3}\right) \ C_{i}\rightarrow C_{i}+kC_{j}
\end{eqnarray*}の総称ですが、それぞれについて逆操作に相当する列基本操作が存在します。具体的には以下の通りです。

行列\(A\)に対して列基本操作\begin{equation*}\left( E_{1}\right) \ C_{i}\leftrightarrow C_{j}
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して再び\(\left( E_{1}\right) \)を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{1}\right) \)は\(\left( E_{1}\right) \)自身の逆操作に相当する列基本操作です。

行列\(A\)に対して列基本操作\begin{equation*}\left( E_{2}\right) \ C_{i}\rightarrow kC_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して以下の列基本操作\begin{equation*}\left( E_{2}^{\prime }\right) \ C_{i}\rightarrow \frac{1}{k}C_{i}\quad
\left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{2}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{2}\right) \)の逆操作に相当する列基本操作です。

行列\(A\)に対して行基本操作\begin{equation*}\left( E_{3}\right) \ C_{i}\rightarrow C_{i}+kC_{j}
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して以下の操作\begin{equation*}\left( E_{3}^{\prime }\right) \ C_{i}\rightarrow C_{i}-kC_{j}
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{3}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{3}\right) \)の逆操作に相当する列基本操作です。

行列の列基本操作には逆操作に相当する列基本操作が存在することが明らかになりました。したがって、行列\(A\)に対して列基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して逆の順番で逆操作を順番に適用させれば有限ステップでもとの行列\(A\)が得られます。つまり、行列\(A\)が行列\(B\)と列同値である場合には、\(B\)は\(A\)と列同値であることが保証されるということです。

列同値な行列は同じ列空間を持つ

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これは\(n\)個の列\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,1\right) ,\ \cdots ,\ \mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{equation*}を持ちますが、これらはいずれも\(m\)次元の列ベクトルであるため、その線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)のすべての列の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{equation*}という形で表現される\(m\)次元の行ベクトルです。

行列\(A\)のすべての列の線型結合がどのような列ベクトルになるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\)の選び方に依存します。したがって、行列\(A\)の列の線型結合をすべて集めることで得られる集合、すなわち行列\(A\)のすべての列からなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\}
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( A\right) &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。これを行列\(A\)の列空間と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。

2つの行列が列同値である場合には、両者の列空間が一致することが保証されます。つまり、行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(A\)に対して列基本操作を有限回適用することで\(B\)が得られる場合には、\begin{equation}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{col}\left( B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。列空間の定義を踏まえると、\(\left(1\right) \)が成り立つことは、\(A\)の列の線型結合を任意に選んだとき、それは\(B\)の列の何らかの線型結合として表現できるとともに、逆に、\(B\)の列の線型結合を任意に選んだとき、それは\(A\)の列の何らかの線型結合として表現できることを意味します。

列同値は同値関係

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\text{は}B\text{と列同値}
\end{equation*}を満たすものとして\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(R\)を定義します。つまり、行列\(A\)に対して列基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、そしてその場合にのみ、\(R\)のもとで\(A\)は\(B\)と関係を持つものとして\(R\)を定義するということです。このように定義された\(R\)は同値関係です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,A\right) \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \Rightarrow R\left( B,A\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \wedge R\left( B,C\right) \Rightarrow R\left(
A,C\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

演習問題