実行列空間の基底と次元

予備知識の復習

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素である有限\(p\)個の行列\begin{equation*}A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられたとき、これらの行列の線型結合とは、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}という形で表される行列です。

行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合\(k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\)がどのような行列になるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\)の選び方に依存します。したがって、行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合をすべて集めることで得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right) =\left\{
k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これを行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の線型スパンと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right) \subset
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それを行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つならば、行列\(A\)は行列集合\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}A\in \mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}となります。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それを行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)のいかなる線型結合としても表現できないならば、すなわち、\begin{equation*}\forall k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A\not=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つならば、行列\(A\)は行列集合\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}A\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}となります。

部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(X\)の要素である任意の行列が同一の行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型従属であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in X:A\in \mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\}
\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)は\(X\)を張ると言います。部分集合の定義および、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right) \subset
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が常に成り立つことを踏まえると、\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が\(X\)を張ることと、\begin{equation*}X=\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。以上が予備知識の復習です。

実行列空間を張るベクトル集合

大きさが\(m\times n\)であるような行列からなる実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に存在するすべての行列を、ある同一の行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots,A_{p}\right\} \)に属する行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合として表現できるでしょうか。つまり、以下の条件\begin{equation}\forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす行列集合\begin{equation*}
\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は存在するでしょうか。ただし、\(\left( 1\right) \)が成り立つことと、\begin{equation*}M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) =\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であるため、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)そのものを張る行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の存在が問題になっています。まずは具体例を提示します。

第\(ij\)成分が\(1\)であり他の任意の成分が\(0\)であるような\(m\times n\)行列を、\begin{equation*}E_{ij}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{gather*}
E_{11}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\text{\quad }\cdots ,\quad E_{1n}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}, \\
E_{21}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\quad \cdots ,\quad E_{2n}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}, \\
\vdots \\
E_{m1}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\quad E_{m2}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 1 & \cdots & 0\end{pmatrix},\quad \cdots ,\quad E_{mn}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{gather*}です。以上の\(m\times n\)個の行列からなる集合\begin{equation*}\left\{ E_{11},E_{12},\cdots ,E_{mn}\right\}
\end{equation*}を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の標準基底（standardbasis）と呼びます。

標準基底は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張ります。加えて、標準基底は線型独立です。

以上の命題より、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素であるすべての行列は、標準基底\(\left\{ E_{11},E_{12},\cdots ,E_{mn}\right\} \)に属する行列の線型結合として表現可能であることが明らかになりました。つまり、標準基底\(\left\{ E_{11},E_{12},\cdots,E_{mn}\right\} \)が与えられれば、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に存在する任意のベクトルを表現できるということです。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る行列集合は標準基底だけではありません。しかも、そのような行列集合は無数に存在します。以下の例より明らかです。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る行列集合は線型独立であるものに限定されません。以下は線型従属な行列集合の例です。

実行列空間の基底

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る行列集合が存在するとともに、その中には線型独立であるものと線型従属であるものの双方が存在することが明らかになりました。

特に、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る線型独立な行列集合を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底（basis）と呼び、基底の要素である個々の行列を基底行列（basis matrix）と呼びます。つまり、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底であることとは、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に存在する任意の行列について、それを\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合としてそれぞれ表すことができる（\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る）とともに、\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の中のどの行列も他の\(p-1\)個の行列の線型結合として表現できない（\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)は線型独立）ことを意味します。\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る線型従属な行列集合は基底とみなされない点に注意してください。

基底に含まれる要素の個数

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る行列集合の中でも線型独立であるものを基底と定義しました。まずは議論の対象を基底に限定した上で、後ほど、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る線型従属な行列集合を含めた形に議論を統合します。

先に例を通じて確認したように、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る線型独立な行列集合、すなわち\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底は無数に存在します。では、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底どうしを比べたとき、要素の個数が最も少ない基底には何個の行列が含まれているのでしょうか。

実は、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底はいずれも同じ個数の行列を要素として持ちます。

先に示したように、標準基底\(\left\{ E_{11},E_{12},\cdots,E_{mn}\right\} \)は実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底ですが、標準基底は\(m\times n\)個の行列を要素として持つため、上の命題より、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底はいずれも\(m\times n\)個の行列を要素として持つことが保証されます。

\(m\times n\)行列を要素として持つ実ベクトル空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底はいずれも\(m\times n\)個の行列を要素として持つことが明らかになりました。つまり、線型独立な行列だけを使って\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上のすべての行列を表現するためには、\(m\times n\)個ちょうどの行列が必要です。言い換えると、\(m\times n\)個よりも少ない行列しか与えられておらず、なおかつそれらが線型独立である場合、それらの行列をいかなる形で線型結合しても、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上のすべての行列を表現し尽くすことはできません。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る行列集合が\(m\times n\)個よりも多い要素を持つ場合、その行列集合は線型従属であることが確定します。なぜなら、その行列集合が線型独立であるものと仮定すると、要素の個数が\(m\times n\)よりも大きい\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底が存在することとなり、それは先の命題と矛盾するからです。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底はいずれも\(m\times n\)個の行列を要素として持つことが明らかになりました。逆に、線型独立な\(m\times n\)個の行列を任意に選んだとき、それらの集合は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底になることが保証されます。

実行列空間の次元

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るために必要な行列の個数の最小値を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の次元（dimension）と呼び、それを、\begin{equation*}\dim M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記します。

先に明らかにしたように、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底はいずれも\(m\times n\)個の行列を要素として持つため、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るために必要な「線型独立」な行列の個数の最小値は\(m\times n\)です。では、線型従属な行列を考察対象に含めた場合にはどうなるでしょうか。つまり、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る線型従属な行列集合の中には、要素の個数が\(m\times n\)よりも少ないものが存在するのでしょうか。存在しません。

繰り返しになりますが、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るために必要な「線型独立」な行列の個数の最小値は\(m\times n\)です。さらに、上の命題より、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るために必要な「線型従属」な行列の個数の最小値は\(m\times n\)を上回ります。したがって、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るために必要なベクトルの個数の最小値、すなわち\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の次元は\(m\times n\)であることが明らかになりました。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の次元が\(m\times n\)であることは、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るために必要な行列の個数の最小値が\(m\times n\)であることを意味します。つまり、\(m\times n\)個の行列\(A_{1},\cdots ,A_{mn}\)を適切に選べば、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の任意の行列はいずれも\(A_{1},\cdots ,A_{mn}\)の線型結合として表現可能です。

加えて、それらの行列\(A_{1},\cdots ,A_{mn}\)は線型独立であることが確定しています。つまり、\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{mn}\right\} \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底であるということです。なぜなら、線型従属な行列によって\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張ろうとすると、必要な行列の個数は必ず\(m\times n\)個を超えてしまうからです。加えて、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底はいずれも\(m\times n\)個の要素を持つため、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の次元\(m\times n\)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底に含まれる行列の個数でもあります。

\(m\times n\)個の線型独立な行列\(A_{1},\cdots ,A_{mn}\)を任意に選んだ上で行列集合\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{mn}\right\} \)を構成すると、これは\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底になることが確定しています。\(A_{1},\cdots ,A_{mn}\)とは異なる行列\(A\)を任意に選んで行列集合\(\left\{ A,A_{1},\cdots ,A_{mn}\right\} \)を構成すると、これは線型従属になってしまいます。したがって、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の次元\(m\times n\)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)において選ぶことができる線型独立な行列の個数の最大値でもあります。

演習問題