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MATRIX

行列の定義

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行列

実数を長方形に配列したもの\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}を\(\mathbb{R} \)上の行列(matric over \(\mathbb{R} \))と呼びます。行列を構成する個々の実数\begin{equation*}a_{ij}\quad \left( i=1,\cdots ,m;\ j=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を行列の\(ij\)成分(\(ij\)component)と呼びます。これは行列の第\(i\)行、第\(j\)列に現れる実数です。以上を踏まえた上で、行列そのものを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right) \quad \left( i=1,2,\cdots ,m;\ j=1,2,\cdots ,n\right)
\end{equation*}と表記することもできます。または、\(i\)や\(j\)がとり得る値の範囲が自明である場合には、行列そのものを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right)
\end{equation*}とシンプルに表記できます。

多くの場合、個々の行列をアルファベットの大文字\begin{equation*}
A,B,C,\cdots
\end{equation*}で表記し、その成分である実数をアルファベットの小文字\begin{equation*}
a,b,c,\cdots
\end{equation*}で表記します。

行列\(\left( a_{ij}\right) \)を構成する個々の行に相当する実数の横の\(n\)組\begin{equation*}\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}\right) \quad \left( i=1,2,\cdots
,n\right)
\end{equation*}を行列の(row)と呼びます。また、行列を構成する個々の列に相当する実数の縦の\(m\)組\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right) \quad \left( j=1,2,\cdots ,m\right)
\end{equation*}を行列の(column)と呼びます。

行列\(\left( a_{ij}\right) \)が\(m\)個の行と\(n\)個の列を持つ場合、それを\(m\times n\)行列(\(m\times n\) matrix)と呼びます。また、数の対\(\left( m,n\right) \)を行列の大きさ(size)や(shape)などと呼びます。実数を成分として持つすべての\(m\times n\)行列からなる集合を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。

例(行列)
以下のように定義される行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-3 & -2 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}は\(2\times 3\)行列であり、その行は\begin{equation*}\left( 1,2,3\right) ,\quad \left( -3,-2,-1\right)
\end{equation*}の2つであり、その列は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-3\end{array}\right) ,\quad \left(
\begin{array}{c}
2 \\
-2\end{array}\right) ,\quad \left(
\begin{array}{c}
3 \\
-1\end{array}\right)
\end{equation*}の3つです。

例(行列)
\(n\)個の実数\(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を横に並べて得られる実数の\(n\)組\begin{equation*}\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}を行ベクトル(row vector)と呼びます。これは\(1\times n\)行列とみなされます。
例(行列)
\(m\)個の実数\(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{m}\in \mathbb{R} \)を縦に並べて得られる実数の\(m\)組\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}を列ベクトル(column
vector)と呼びます。これは\(m\times 1\)行列とみなされます。
例(行列)
1つの実数\(a\in \mathbb{R} \)だけからならなる並び\begin{equation*}\left( a\right)
\end{equation*}を\(1\times 1\)行列とみなすことができます。

 

等しい行列

2つの行列\(\left( a_{ij}\right) ,\left( b_{ij}\right) \)が同一の大きさを持つとともに対応する成分がすべて等しい場合には\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left(b_{ij}\right) \)は等しい(equal)といい、そのことを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right)
\end{equation*}と表記します。具体的には、同一の行列集合\(M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \)に属する2つの行列\begin{eqnarray*}\left( a_{ij}\right) &\in &M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \\
\left( b_{ij}\right) &\in &M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を選んだとき、それらの間に、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall j\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} :a_{ij}=b_{ij}
\end{equation*}が成り立つ場合には、そのことを\(\left( a_{ij}\right)=\left( b_{ij}\right) \)で表すということです。

2つの行列\(\left( a_{ij}\right) ,\left( b_{ij}\right) \)が等しくない場合、そのことを\(\left( a_{ij}\right) \not=\left(b_{ij}\right) \)で表します。これは、\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)が異なる大きさを持つ場合や、\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)が同じ大きさを持つものの対応する成分の中に一致しないものが存在する場合に相当します。

例(等しい行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
2 & 7 \\
3 & 1\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
2 & 7 \\
3 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)はともに\(2\times 2\)行列であるとともに、対応する成分がいずれも一致しています。したがって、\(\left( a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right) \)が成り立ちます。
例(等しい行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) \)は\(2\times 3\)行列であり、\(\left( b_{ij}\right) \)は\(3\times 2\)行列であるため、両者の大きさは異なります。したがって、\(\left( a_{ij}\right)\not=\left( b_{ij}\right) \)が成り立ちます。
例(等しい行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
3 & 2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)はともに\(2\times 2\)行列であるとともに、同じ実数\(1,2,3,4\)を成分として持っています。ただ、対応する成分が等しくないため、これらは異なる行列とみなされます。つまり、\(\left( a_{ij}\right)\not=\left( b_{ij}\right) \)です。
例(等しい行列)
実数\(x,y,z,w\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x+y & 2z+w \\
x-y & z-w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、行列の相等の定義より、\begin{eqnarray*}
x+y &=&3 \\
2z+w &=&5 \\
x-y &=&1 \\
z-w &=&4
\end{eqnarray*}がすべて成り立ちます。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x,y,z,w\right) =\left( 2,1,3,-1\right)
\end{equation*}を得ます。

 

演習問題

問題(行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right) \)は成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
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問題(行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
-5 & 3 \\
-7 & -3\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
-5 & -3 \\
-7 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right) \)は成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
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問題(行列)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x+3 & -1 \\
4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6 & y \\
z-3 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つものとします。\(x,y,z\)を求めてください。
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問題(行列)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{pmatrix}
10x^{2}+10 & 2 \\
-3 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
20 & 2 \\
2y+9 & 9\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つものとします。\(x,y\)を求めてください。
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問題(行列)
実数\(x,y,z,w\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x+y & x-y \\
x+y+z & x-7y-w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3 & -17 \\
-5 & -64\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つものとします。\(x,y,z,w\)を求めてください。
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