行列の定義

行列と成分

実数を長方形に配列したもの\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}を\(\mathbb{R} \)上の行列（matrix over \(\mathbb{R} \)）と呼びます。行列を構成する個々の実数\begin{equation*}a_{ij}\quad \left( i=1,\cdots ,m;\ j=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を行列の\(ij\)成分（\(ij\)component）と呼びます。これは行列の第\(i\)行、第\(j \)列に現れる実数です。以上を踏まえた上で、行列そのものを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right) \quad \left( i=1,\cdots ,m;\ j=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}と表記することもできます。または、\(i\)や\(j \)がとり得る値の範囲が自明である場合には、行列そのものを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right)
\end{equation*}とシンプルに表記できます。

多くの場合、個々の行列をアルファベットの大文字\begin{equation*}
A,B,C,\cdots
\end{equation*}で表記し、その成分である実数をアルファベットの小文字\begin{equation*}
a,b,c,\cdots
\end{equation*}で表記します。

行列の行と列

行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}の行に相当する実数の横の並び\begin{gather*}
\left( a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}\right) \\
\left( a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n}\right) \\
\vdots \\
\left( a_{m1},a_{m2},\cdots ,a_{mn}\right)
\end{gather*}をそれぞれ行列\(A\)の行（row）と呼びます。行列\(A\)の上から\(i\ \left(=1,2,\cdots ,m\right) \)番目の行を\(i\)番目の行（\(i\) th row）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A,i\right) =\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}\right)
\end{equation*}と表記できます。この表記を用いると、行列\(A\)そのものを、\begin{equation*}A=\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \\
\mathrm{row}\left( A,2\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right)\end{array}\right)
\end{equation*}と表現できます。

行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}の列に相当する実数の縦の並び\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m2}\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
a_{2n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right)
\end{equation*}をそれぞれ行列\(A\)の列（column）と呼びます。行列\(A\)の左から\(j\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)番目の列を\(j\)番目の列（\(j\) th column）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,j\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right)
\end{equation*}と表記できます。この表記を用いると、行列\(A\)そのものを、\begin{equation*}A=\left( \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\mathrm{col}\left( A,2\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right)
\end{equation*}と表現できます。

行列\(\left( a_{ij}\right) \)が\(m\)個の行と\(n\)個の列を持つ場合、それを\(m\times n\)行列（\(m\times n\) matrix）と呼びます。また、行列の行と列の数を特定する数の組\(\left( m,n\right) \)を行列の大きさ（size）や形（shape）などと呼びます。実数を成分として持つすべての\(m\times n\)行列からなる集合を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。

等しい行列

2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
B &=&\left( b_{ij}\right) \in M_{p,q}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}が同一の大きさを持つとともに対応する成分がすべて等しい場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ m=p\wedge n=q \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j:a_{ij}=b_{ij}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には\(A\)と\(B\)は等しい（equal）といい、そのことを、\begin{equation*}A=B
\end{equation*}と表記します。逆に、\(A\)と\(B\)が等しくない場合には、そのことを、\begin{equation*}A\not=B
\end{equation*}と表記します。これは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ m\not=p\vee n\not=q \\
&&\left( b\right) \ \exists i,j:a_{ij}\not=b_{ij}
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成り立つことを意味します。つまり、2つの行列\(A,B\)の大きさが異なる場合や、対応する成分の中に一致しないものが存在しない場合、\(A\)と\(B\)は異なる行列として判定されます。

演習問題