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行列加法(行列の和)

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行列

実数を長方形に配列したもの\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}を\(\mathbb{R} \)上の行列(matric over \(\mathbb{R} \))と呼びます。行列を構成する個々の実数\begin{equation*}a_{ij}\quad \left( i=1,\cdots ,m;\ j=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を行列の\(ij\)成分(\(ij\)component)と呼びます。これは行列の第\(i\)行、第\(j \)列に現れる実数です。以上を踏まえた上で、行列そのものを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right) \quad \left( i=1,2,\cdots ,m;\ j=1,2,\cdots ,n\right)
\end{equation*}と表記することもできます。または、\(i\)や\(j \)がとり得る値の範囲が自明である場合には、行列そのものを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right)
\end{equation*}とシンプルに表記できます。

多くの場合、個々の行列をアルファベットの大文字\begin{equation*}
A,B,C,\cdots
\end{equation*}で表記し、その成分である実数をアルファベットの小文字\begin{equation*}
a,b,c,\cdots
\end{equation*}で表記します。

行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}の行に相当する\(m\)個の実数の横の並び\begin{eqnarray*}&&\left( a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}\right) \\
&&\left( a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n}\right) \\
&&\vdots \\
&&\left( a_{m1},a_{m2},\cdots ,a_{mn}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ行列\(A\)の行(row)と呼びます。行列\(A\)の上から\(i\ \left(=1,2,\cdots ,m\right) \)番目の行を\(i\)番目の行(\(i\) th row)と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A,i\right) =\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}\right)
\end{equation*}と表記できます。また、行列\(A\)の列に相当する\(n\)個の実数の縦の並び\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m2}\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
a_{2n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right)
\end{equation*}をそれぞれ行列\(A\)の列(column)と呼びます。行列\(A\)の左から\(j\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)番目の列を\(j\)番目の列(\(j\) th column)と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,j\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right)
\end{equation*}と表記できます。

行列\(\left( a_{ij}\right) \)が\(m\)個の行と\(n\)個の列を持つ場合、それを\(m\times n\)行列(\(m\times n\) matrix)と呼びます。また、行列の行と列の数を特定する数の組\(\left( m,n\right) \)を行列の大きさ(size)や(shape)などと呼びます。実数を成分として持つすべての\(m\times n\)行列からなる集合を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。

例(行列)
以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-3 & -2 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}は\(2\times 3\)行列であり、その行は\begin{equation*}\left( 1,2,3\right) ,\ \left( -3,-2,-1\right)
\end{equation*}の2つであり、その列は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-3\end{array}\right) ,\ \left(
\begin{array}{c}
2 \\
-2\end{array}\right) ,\ \left(
\begin{array}{c}
3 \\
-1\end{array}\right)
\end{equation*}の3つです。

例(行列)
以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-3 & -2 & -1 \\
3 & 2 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}は\(3\times 3\)行列であり、その行は\begin{equation*}\left( 1,2,3\right) ,\ \left( -3,-2,-1\right) ,\ \left( 3,2,1\right)
\end{equation*}の3つであり、その列は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-3 \\
3\end{array}\right) ,\ \left(
\begin{array}{c}
2 \\
-2 \\
2\end{array}\right) ,\ \left(
\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}の3つです。

例(行列)
\(n\)個の実数\(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を横に並べて得られる実数の\(n\)組\begin{equation*}\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}を行ベクトル(row vector)と呼びます。これは\(1\times n\)行列とみなされます。
例(行列)
\(m\)個の実数\(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{m}\in \mathbb{R} \)を縦に並べて得られる実数の\(m\)組\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}を列ベクトル(column vector)と呼びます。これは\(m\times 1\)行列とみなされます。
例(行列)
1つの実数\(a\in \mathbb{R} \)だけからならなる並び\begin{equation*}\left( a\right)
\end{equation*}を\(1\times 1\)行列とみなすことができます。
例(行列)
3つの家計\(1,2,3\)による食費、交際費、医療費への月間支出額を調査しました。家計\(i\ \left(=1,2,3\right) \)による食費\(f_{i}\)で、交際費を\(e_{i}\)で、医療費を\(m_{i}\)でそれぞれ表記するのであれば、得られたデータを以下のような\(3\times 3\)行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
f_{1} & e_{1} & m_{1} \\
f_{2} & e_{2} & m_{2} \\
f_{3} & e_{3} & m_{3}\end{pmatrix}\end{equation*}として表現できます。ただし、この行列の第\(i\)行は家計\(i\)による各項目への支出額を表しており、第\(j\)行は特定の支出項目に関する各家計の支出額を表しています。
例(行列)
以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
2x_{1}-3x_{2}+4x_{3}=13 \\
-x_{1}+5x_{2}-x_{3}=0 \\
3x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=4\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられたとき、変数\(x_{1},x_{2},x_{3}\)の係数をとりだして並べることにより、以下のような\(3\times 3\)行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
2 & -3 & 4 \\
-1 & 5 & -1 \\
3 & 4 & -2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式の係数行列と呼びます。

例(行列)
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において偏微分可能であるため、そこでの変数\(x_{k}x_{l}\ \left( k,j=1,2\right) \)に関する2階偏微分係数\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a,b\right) =\frac{\partial ^{2}f\left(
a,b\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。そこで、これを\(k\)行\(l\)列成分とする\(2\times 2\)行列\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a,b\right) & f_{x_{1}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( a,b\right) \\
f_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a,b\right) & f_{x_{2}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( a,b\right)
\end{pmatrix}
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial ^{2}f\left( a,b\right) }{\partial x_{1}\partial x_{1}} &
\frac{\partial ^{2}f\left( a,b\right) }{\partial x_{2}\partial x_{1}} \\
\frac{\partial ^{2}f\left( a,b\right) }{\partial x_{1}\partial x_{2}} &
\frac{\partial ^{2}f\left( a,b\right) }{\partial x_{2}\partial x_{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
12a^{2}-2b^{2} & -4ab \\
-4ab & -2a^{2}+12b^{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が得られます。これを関数\(f\)の点\(\left( a,b\right) \)におけるヘッセ行列と呼びます。

 

等しい行列

2つの行列\(\left( a_{ij}\right) ,\left( b_{ij}\right) \)が同一の大きさを持つとともに対応する成分がすべて等しい場合には\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left(b_{ij}\right) \)は等しい(equal)といい、そのことを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right)
\end{equation*}と表記します。具体的には、同一の行列集合\(M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \)に属する2つの行列\begin{eqnarray*}\left( a_{ij}\right) &\in &M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \\
\left( b_{ij}\right) &\in &M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を選んだとき、それらの間に、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall j\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} :a_{ij}=b_{ij}
\end{equation*}が成り立つ場合には、そのことを\(\left( a_{ij}\right)=\left( b_{ij}\right) \)で表すということです。

2つの行列\(\left( a_{ij}\right) ,\left( b_{ij}\right) \)が等しくない場合、そのことを\(\left( a_{ij}\right) \not=\left(b_{ij}\right) \)で表します。これは、\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)が異なる大きさを持つ場合や、\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)が同じ大きさを持つものの対応する成分の中に一致しないものが存在する場合に相当します。

例(等しい行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
2 & 7 \\
3 & 1\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
2 & 7 \\
3 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)はともに\(2\times 2\)行列であるとともに、対応する成分がいずれも一致します。したがって、\(\left(a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right) \)が成り立ちます。
例(等しい行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) \)は\(2\times 3\)行列であり、\(\left( b_{ij}\right) \)は\(3\times 2\)行列であるため、両者の大きさは異なります。したがって、\(\left( a_{ij}\right)\not=\left( b_{ij}\right) \)が成り立ちます。
例(等しい行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
3 & 2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)はともに\(2\times 2\)行列であるとともに、同じ実数\(1,2,3,4\)を成分として持っています。ただ、対応する成分が等しくないため、これらは異なる行列とみなされます。つまり、\(\left( a_{ij}\right)\not=\left( b_{ij}\right) \)です。
例(等しい行列)
実数\(x,y,z,w\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x+y & 2z+w \\
x-y & z-w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、行列の相等の定義より、\begin{eqnarray*}
x+y &=&3 \\
2z+w &=&5 \\
x-y &=&1 \\
z-w &=&4
\end{eqnarray*}がすべて成り立ちます。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x,y,z,w\right) =\left( 2,1,3,-1\right)
\end{equation*}を得ます。

 

演習問題

問題(行列)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
\left( a_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}
\\
\left( b_{ij}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(\left(a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right) \)は成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
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