行列の行空間や列空間の基底を特定する方法

行列の列空間の基底を特定する方法

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}をすべて満たすということです。部分空間\(X\)の要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X
\end{equation*}の線型スパンとは、これらのベクトルの線型結合をすべて集めることにより得られる集合\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) =\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in X\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}として定義されます。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立ちます。

ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset X \\
&&\left( b\right) \ X=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots
,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の要素がいずれも\(X\)上のベクトルであることを意味し、条件\(\left(b\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が\(X\)を張ること、すなわち、\(X\)上に存在するベクトルはいずれも\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合としてそれぞれ表現できることを意味します。また、条件\(\left( c\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\} \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}ですが、このベクトル集合の線型スパン、すなわち行列\(A\)の列ベクトルどうしの線型結合をすべて集めることにより得られる集合を\(A\)の列空間と呼び、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間であるため、列空間の基底を同様に定義できます。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \subset \mathbb{R} ^{m}\)が列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)の基底であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \subset \mathrm{col}\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{
\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。

行列\(A\)の列ベクトル集合\(\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left(A,n\right) \right\} \)は線型独立であるとは限りません。いずれにせよ、行列\(A\)の列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)とは\(A\)の列ベクトル\(\mathrm{col}\left(A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \)の線型結合として表現できるすべてのベクトルからなる集合です。一方、列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)の基底が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \)である場合には、行列\(A\)の列ベクトル\(\mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \)の線型結合として表現できるすべてのベクトルが、実は、線型独立なベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\)の線型結合として表現可能であることを意味します。

行列の列空間の基底を特定するためにはどうすればよいでしょうか。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用することにより行標準形\(B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が得られた状況を想定します。ガウス・ジョルダンの消去法は有限回の行基本操作であるため\(A\)と\(B\)は行同値です。2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が行同値である場合には、スカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{0}\Leftrightarrow k_{1}\mathrm{col}\left( B,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( B,n\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つため、2つの列ベクトル集合\begin{eqnarray}
\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\} &\subset &\mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (1) \\
\left\{ \mathrm{col}\left( B,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( B,n\right)
\right\} &\subset &\mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}の間の線型独立・線型従属関係は一致します。\(B\)は行標準形であるため、行空間\(\mathrm{row}\left( B\right) \)の基底ベクトルを\(\left( 2\right) \)から抜き出すのは容易です。そこで、\(\left( 2\right) \)から抜き出した列ベクトルに対応する列ベクトルを\(\left( 1\right) \)から抜き出せば、それらの列ベクトルは列空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)の基底ベクトルになります。

改めて整理すると、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列空間の基底を特定するためには、\(A\)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用することにより行標準形\(B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を得た上で、\(B\)の列ベクトル集合の中から列空間\(\mathrm{row}\left( B\right) \)の基底ベクトルを特定し、それらの列ベクトルと同じ位置に存在する列ベクトルを\(A\)の列ベクトル集合から抽出すればよいということになります。

行列の行空間の基底を特定する方法

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right)
\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}ですが、このベクトル集合の線型スパン、すなわち行列\(A\)の行ベクトルどうしの線型結合をすべて集めることにより得られる集合を\(A\)の行空間と呼び、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right)
\end{equation*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、行空間の基底を同様に定義できます。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)の基底であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \subset \mathrm{row}\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{
\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。

行列\(A\)の行ベクトル集合\(\left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left(A,m\right) \right\} \)は線型独立であるとは限りません。いずれにせよ、行列\(A\)の行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)とは\(A\)の行ベクトル\(\mathrm{row}\left(A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \)の線型結合として表現できるすべてのベクトルからなる集合です。一方、行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)の基底が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\right\} \)である場合には、行列\(A\)の行ベクトル\(\mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \)の線型結合として表現できるすべてのベクトルが、実は、線型独立なベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{p}\)の線型結合として表現可能であることを意味します。

行列の行空間の基底を特定するためにはどうすればよいでしょうか。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用することにより行標準形\(B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が得られた状況を想定します。ガウス・ジョルダンの消去法は有限回の行基本操作であるため\(A\)と\(B\)は行同値です。行同値な行列どうしの行空間は一致するため\(\mathrm{row}\left( B\right) \)は\(\mathrm{row}\left( A\right) \)と一致します。さて、行標準形\(B\)を構成する非ゼロベクトルであるような行をすべて集めることにより得られるベクトル集合は線型独立であるとともに、それ以外のすべての行はゼロベクトルです。したがって、\(B\)を構成する非ゼロベクトルであるような行をすべて集めることにより得られるベクトル集合は行空間\(\mathrm{row}\left( B\right) \)の基底であり、したがってそれは行区間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)の基底でもあります。

改めて整理すると、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行空間の基底を特定するためには、\(A\)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用することにより行標準形\(B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を得た上で、\(B\)を構成する非ゼロベクトルであるような行を抽出すればよいということになります。

ベクトル集合の線型スパンの基底を特定する方法

ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、その基底を定義できます。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{p}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が線型スパン\(\mathrm{span}\left(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \)の基底であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{p}\right\} \subset \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{p}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{p}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。

ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が線型従属ないし線型独立のどちらの場合でも、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \)は定義可能です。いずれにせよ、線型スパン\(\mathrm{span}\left(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \)とは、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合として表現できるすべてのベクトルからなる集合です。一方、線型スパン\(\mathrm{span}\left(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \)の基底が\(\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{p}\right\} \)であることは、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合として表現できるすべてのベクトルが、実は、線型独立なベクトル\(\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{p}\)の線型結合としても表現可能であることを意味します。

ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、線型スパン\begin{equation}\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}の基底を求めるためにはどうすればよいでしょうか。行列\begin{equation*}
A=\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right) \in
M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義すれば、その列空間は、\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となるため、\(\left( 1\right) \)の基底は列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)の基底と一致します。したがって、ガウス・ジョルダンの消去法を利用して行列\(A\)の列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)の基底すれば目標は達成されます。

演習問題