行列減法
同じ大きさを持つ2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A-B=A+\left( -B\right)
\end{equation*}と定義される行列\(A-B\)を\(A\)と\(B\)の差（difference）や成分ごとの差（entrywise difference）などと呼びます。ただし、左辺の\(-\)は行列差、右辺の\(+\)は行列和、\(-B\)は\(B\)の行列加法逆元を表す記号です。
同じ大きさを持つ2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
B &=&\left( b_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
A-B &=&A+\left( -B\right) \quad \because \text{行列の差の定義} \\
&=&\left( a_{ij}\right) +\left( -b_{ij}\right) \quad \because \text{行列の加法逆元の定義} \\
&=&\left( a_{ij}+\left( -b_{ij}\right) \right) \quad \because \text{行列の和の定義} \\
&=&\left( a_{ij}-b_{ij}\right) \quad \because \text{差の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A-B=\left( a_{ij}-b_{ij}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、左辺の\(-\)は行列の差を表す記号であり、右辺の\(-\)は実数の差を表す記号です。つまり、行列\(A,B\)の差とはそれらの対応する成分どうしを引くことにより得られる行列です。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}の差は、\begin{equation*}
A-B=\begin{pmatrix}
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義される\(2\times 2\)行列です。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}の差は、\begin{equation*}
A-B=\begin{pmatrix}
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} \\
a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義される\(3\times 2\)行列です。
A &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \\
B &=&\left( b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\right)
\end{eqnarray*}の差は、\begin{equation*}
A-B=\left( a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},\cdots ,a_{n}-b_{n}\right)
\end{equation*}と定義される行ベクトルです。つまり、行ベクトルどうしの行列減法はベクトル減法と一致します。
A &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) \\
B &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}の差は、\begin{equation*}
A+B=\left(
\begin{array}{c}
a_{1}+b_{1} \\
a_{2}+b_{2} \\
\vdots \\
a_{m}+b_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義される行ベクトルです。つまり、列ベクトルどうしの行列減法はベクトル減法と一致します。
A &=&\left( a\right) \\
B &=&\left( b\right)
\end{eqnarray*}の和は、\begin{equation*}
A=\left( a+b\right)
\end{equation*}と定義される実数です。つまり、実数どうしの行列減法は減法と一致します。
f_{1} & e_{1} & m_{1} \\
f_{2} & e_{2} & m_{2} \\
f_{3} & e_{3} & m_{3}\end{pmatrix}\end{equation*}として表現できます。ある月のデータが行列\(A\)として、別の月のデータが行列\(B\)として表現されている場合、これらの差\begin{equation*}A-B
\end{equation*}は、3つの家計\(1,2,3\)による食費、交際費、医療費への2カ月間での支出額の差を表します。
行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が減法\(-\)について閉じていることから差\(A-B\)のそれぞれの成分\(a_{ij}-b_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(A-B\)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の1つの行列として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A-B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列減法\(-\)について閉じているということです。このような事情を踏まえると、行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left(A,B\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、それらの行列差\(A-B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算\begin{equation*}-:M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を行列減法（matrix subtraction）と呼びます。順序対\(\left( A,B\right) \)に対して行列減法\(-\)を適用することを、\(A\)から\(B\)を引く（subtract）と言います。
行列減法は同じ大きさの行列に対してのみ定義されます。大きさが異なる行列に対して行列減法を適用することはできません。
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は\(2\times3 \)行列であり、\(B\)は\(3\times 2\)行列であるため、両者の大きさは異なります。したがって、これらの差\(A-B\)は定義されません。
ゼロ行列との行列減法
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それとゼロ行列\(0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の間には、\begin{eqnarray*}A-0 &=&A \\
0-A &=&-A
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。つまり、行列からゼロ行列を引いても変化は起こらず、ゼロ行列から行列を引くとその行列の加法逆元が得られます。
&&\left( b\right) \ 0-A=-A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
行列和や行列差の加法逆元
行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列加法\(+\)と行列減法\(-\)について閉じているため、行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それらの行列和\(A+B\)や行列差\(A-B\)もまた行列です。任意の行列は加法逆元を持つため\(-\left( A+B\right) \)や\(-\left( A-B\right) \)はいずれも行列であることが保証されますが、これらについては、\begin{eqnarray*}-\left( A+B\right) &=&-A-B \\
-\left( A-B\right) &=&B-A
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。つまり、行列和や行列差の加法逆元はいずれも行列差を用いて表現できます。
&&\left( b\right) \ -\left( A-B\right) =B-A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
演習問題
1 & -1 & 2 \\
0 & 3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
4 & 0 & -3 \\
-1 & -2 & 3\end{pmatrix}
\\
C &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A-B \\
&&\left( b\right) \ B-C \\
&&\left( c\right) \ A-C
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、行列減法に関して結合律\begin{equation*}
\forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A-B\right) -C=A-\left( B-C\right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか議論してください。
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