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行列

行列減法(行列の差)

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行列減法

同じ大きさを持つ2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A-B=A+\left( -B\right)
\end{equation*}と定義される行列\(A-B\)を\(A\)と\(B\)の(difference)や成分ごとの差(entrywise difference)などと呼びます。ただし、左辺の\(-\)は行列の差、右辺の\(+\)は行列の和、\(-B\)は\(B\)の行列加法逆元を表す記号です。

行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行列の加法逆元は存在することが保証されるため\(-B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)です。さらに、大きさが等しい行列どうしの和は行列であることが保証されるため\(A+\left( -B\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)です。以上の事実と行列の差の定義より、\begin{equation*}\forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A-B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が行列の差\(-\)について閉じていることが保証されます。このような事情を踏まえると、行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left( A,B\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、やはり行列である行列和\(A-B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算\begin{equation*}-:M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を行列減法(matrix subtraction)と呼びます。順序対\(\left( A,B\right) \)に対して行列減法\(-\)を適用することを、\(A\)から\(B\)を引く(subtract)と言います。

同じ大きさを持つ2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
B &=&\left( b_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
A-B &=&A+\left( -B\right) \quad \because \text{行列差の定義} \\
&=&\left( a_{ij}\right) +\left( -b_{ij}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-b_{11} & -b_{12} & \cdots & -b_{1n} \\
-b_{21} & -b_{22} & \cdots & -b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-b_{m1} & -b_{m2} & \cdots & -b_{mn}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \cdots & a_{1n}-b_{1n} \\
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \cdots & a_{2n}-b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1}-a_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \cdots & a_{mn}-b_{mn}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)と\(B\)の差とはそれらの対応する成分を引くことにより得られる行列です。

例(行列減法)
以下の\(2\times 3\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に対して、\begin{eqnarray*}
A-B &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1-3 & -2-0 & 3-2 \\
4+7 & 5-1 & -6-8\end{pmatrix}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
-2 & -2 & 1 \\
11 & 4 & -14\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
B-A &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
3-1 & 0+2 & 2-3 \\
-7-4 & 1-5 & 8+6\end{pmatrix}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
2 & 2 & -1 \\
-11 & -4 & 14\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。したがってここでは、\begin{equation*}
A+B\not=B+A
\end{equation*}という関係が成立しています。

例(行列減法)
以下の\(1\times n\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \\
B &=&\left( b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{eqnarray*}
A-B &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) -\left( b_{1},b_{2},\cdots
,b_{n}\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left( a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},\cdots ,a_{n}-b_{n}\right) \quad \because
\text{行列減法の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これはベクトル減法に他なりません。つまり、\(1\times n\)行列、すなわち行ベクトルにおいて行列減法とベクトル減法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1,2,3\right) -\left( 2,3,4\right) &=&\left( -1,-1,-1\right) \\
\left( 1,-1\right) -\left( 3,4\right) &=&\left( -2,-5\right) \\
\left( 0,1\right) -\left( 1,-1\right) &=&\left( -1,2\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列減法)
以下の\(m\times 1\)行列\begin{equation*}A=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) ,\quad B=\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A-B &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}-b_{2} \\
a_{2}-b_{2} \\
\vdots \\
a_{m}-b_{m}\end{array}\right) \quad \because \text{行列減法の定義}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
4\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
-1\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
3 \\
4\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-2 \\
-5\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列減法)
以下の\(1\times 1\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\left( a\right) \\
B &=&\left( b\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{eqnarray*}
A-B &=&\left( a\right) -\left( b\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left( a-b\right) \quad \because \text{行列加法の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは実数の減法に他なりません。つまり、\(1\times 1\)行列において行列減法と実数の減法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1\right) -\left( 2\right) &=&\left( -1\right) \\
\left( 0\right) -\left( -1\right) &=&\left( 1\right) \\
\left( \frac{1}{2}\right) -\left( -2\right) &=&\left( \frac{5}{2}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

行列減法は同じ大きさの2つの行列に対してのみ定義されます。大きさの異なる行列どうしに行列減法を適用することはできません。

例(行列減法)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は\(2\times 3\)行列であり、\(B\)は\(3\times 2\)行列であるため、両者の大きさは異なります。したがって、これらの差\(A-B\)は定義されません。

 

ゼロ行列との行列減法

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それとゼロ行列\(0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の間には、\begin{eqnarray*}A-0 &=&A \\
0-A &=&-A
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。つまり、行列からゼロ行列を引いても変化は起こらず、ゼロ行列から行列を引くとその行列の加法逆元が得られます。

命題(ゼロ行列との行列減法)
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A-0=A \\
&&\left( b\right) \ 0-A=-A
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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行列和や行列差の加法逆元

行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列加法と行列減法について閉じているため、行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それらの行列和\(A+B\)や行列差\(A-B\)もまた行列です。任意の行列は加法逆元を持つため\(-\left( A+B\right) \)や\(-\left( A-B\right) \)はいずれも行列であることが保証されますが、これらについては、\begin{eqnarray*}-\left( A+B\right) &=&-A-B \\
-\left( A-B\right) &=&B-A
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。つまり、行列和や行列差の加法逆元はいずれも行列差を用いて表現できます。

命題(行列和や行列差の加法逆元)
行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ -\left( A+B\right) =-A-B \\
&&\left( b\right) \ -\left( A-B\right) =B-A
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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演習問題

問題(行列加減法)
行列\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & 3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
4 & 0 & -3 \\
-1 & -2 & 3\end{pmatrix}
\\
C &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A-B \\
&&\left( b\right) \ B-C \\
&&\left( c\right) \ A-C
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(行列減法)
行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}-\left( -A-B\right) =A+B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(行列減法)
行列\(A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}-\left( A+B+C\right) =-A-B-C
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(行列減法)
行列\(A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A-B=\left( A+C\right) -\left( B+C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(行列減法)
行列加法に関しては結合律\begin{equation*}
\forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、行列減法に関して結合律\begin{equation*}
\forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A-B\right) -C=A-\left( B-C\right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか議論してください。

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