正則行列と逆行列
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合には、\(A\)を正則行列と呼びます。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則である場合には、定義より、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在します。これを\(A\)の逆行列と呼び、\begin{equation*}A^{-1}
\end{equation*}で表記します。つまり、正方行列\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)とは、以下の条件\begin{equation*}AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列として定義されます。
例（正則行列と逆行列）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}は正則です。実際、以下の行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
BA &=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
AB=BA=I_{2}
\end{equation*}が成り立つからです。\(A\)の逆行列は、\begin{equation*}A^{-1}=B=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}です。
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}は正則です。実際、以下の行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
BA &=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
AB=BA=I_{2}
\end{equation*}が成り立つからです。\(A\)の逆行列は、\begin{equation*}A^{-1}=B=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}です。
正方行列は正則であるとは限らず、したがって逆行列を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
例（正則ではない行列）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}は正則でしょうか。正方行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}
\\
BA &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
AB=BA\not=I_{2}
\end{equation*}を得ます。したがって、この行列\(A\)は正則ではありません。行列\(A\)が正則であるためには、\begin{equation*}AB=BA=I_{2}
\end{equation*}を満たす行列\(B\)を提示する必要があるからです。したがって、\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)は存在しません。
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}は正則でしょうか。正方行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}
\\
BA &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
AB=BA\not=I_{2}
\end{equation*}を得ます。したがって、この行列\(A\)は正則ではありません。行列\(A\)が正則であるためには、\begin{equation*}AB=BA=I_{2}
\end{equation*}を満たす行列\(B\)を提示する必要があるからです。したがって、\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)は存在しません。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則であることを判定するためには、それぞれの正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}が成り立つかを順番に検証すればよいのですが、このような作業を実際に行うのは大変です。これまで学んだ概念を動員すれば、より簡単な手段を通じて正方行列が正則であるかを判定できるとともに、逆行列を具体的に特定できます。順番に解説します。
正方行列が正則であるための必要十分条件
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則であるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するということです。この\(A\)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用すれば\(A\)の唯一の行標準形が得られますが、この場合、それは単位行列\(I_{n}\)と一致することが保証されます。つまり、正則行列の行標準形は単位行列であることが保証されます。
逆の議論も成立するため以下を得ます。
命題（正則であることと行標準形が単位行列であることは必要十分）
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行標準形が単位行列\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であることと、\(A\)が正則行列であることは必要十分である。
例（正則行列）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。したがって、上の命題より、\(A\)の行標準形は単位行列であるはずです。実際、\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
-5+6 & -15+15 \\
1 & 3\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1-1 & 3-0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\)の行標準形は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}ですが、これは単位行列です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。したがって、上の命題より、\(A\)の行標準形は単位行列であるはずです。実際、\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
-5+6 & -15+15 \\
1 & 3\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1-1 & 3-0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\)の行標準形は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}ですが、これは単位行列です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題は正方行列が正則であるための必要十分条件を与えているため、正方行列が正則ではないことを判定する際にも利用できます。つまり、正方行列の行標準形が単位行列ではない場合、その正方行列は正則ではないということです。
例（正則ではない行列）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}が正則ではないことは先に示した通りです。したがって、上の命題より、\(A\)の行標準形は単位行列ではないはずです。実際、\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\(A\)の行標準形は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、この行標準形は単位行列ではありません。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}が正則ではないことは先に示した通りです。したがって、上の命題より、\(A\)の行標準形は単位行列ではないはずです。実際、\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\(A\)の行標準形は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、この行標準形は単位行列ではありません。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題を以下のように言い換えることもできます。
命題（正則であることと基本行列の積であることは必要十分）
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が有限個の基本行列の行列積として表されることと、\(A\)が正則行列であることは必要十分である。
例（正則であることと基本行列の積であることは必要十分）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。したがって、先の命題より、\(A\)は有限個の基本行列の行列積として表されるはずです。以下で確認します。\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
-5+6 & -15+15 \\
1 & 3\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1-1 & 3-0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となります。合計3回の行基本操作を行っていますが、それぞれに対応する行基本行列は、\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、先に行った消去法のプロセスを、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と表現できます。行基本行列は正則であるため、このとき、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}^{-1}
\end{eqnarray*}を得ます。行基本行列の逆行列もまた行基本行列であるため、\(A\)は3個の基本行列の行列積\begin{equation*}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}^{-1}
\end{equation*}として表されることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。したがって、先の命題より、\(A\)は有限個の基本行列の行列積として表されるはずです。以下で確認します。\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
-5+6 & -15+15 \\
1 & 3\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1-1 & 3-0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となります。合計3回の行基本操作を行っていますが、それぞれに対応する行基本行列は、\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、先に行った消去法のプロセスを、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と表現できます。行基本行列は正則であるため、このとき、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}^{-1}
\end{eqnarray*}を得ます。行基本行列の逆行列もまた行基本行列であるため、\(A\)は3個の基本行列の行列積\begin{equation*}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}^{-1}
\end{equation*}として表されることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
逆行列の導出方法
正方行列\(A\)が正則であるかを判定するためにはガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形が単位行列\(I_{n}\)であるか確認すればよいことが明らかになりました。行列の行標準形は一意的に定まるため、以上の方法を用いれば、\(A\)が正則であるか必ず確定します。では、\(A\)が正則であることが判明した場合、逆行列\(A^{-1}\)をどのように特定すればよいでしょうか。
まずは以下の命題を示します。
命題（逆行列であるための十分条件）
2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)について、\begin{equation*}AB=I_{n}
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
A^{-1}=B
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列である。
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
A^{-1}=B
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列である。
正方行列\(A\)が正則であるものとします。つまり、\(A\)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用すれば単位行列\(I_{n}\)が得られるということです。消去法を構成する個々の行基本変形に対応する基本行列を\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{p}\)で表記します。つまり、\begin{equation*}I_{n}=A_{p}\cdots A_{2}A_{1}A
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(A\)の逆行列が、\begin{equation*}A^{-1}=A_{p}\cdots A_{2}A_{1}I_{n}
\end{equation*}として定まることが保証されます。つまり、\(A\)から\(I_{n}\)を得るために適用した行基本変形をそのまま\(I_{n}\)に対して適用すれば\(A^{-1}\)が得られるということです。
命題（逆行列の導出方法）
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則であるものとする。つまり、\begin{equation*}I_{n}=A_{p}\cdots A_{2}A_{1}A
\end{equation*}を満たす有限個の基本行列\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{p}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するものとする。このとき、\(A\)の逆行列は、\begin{equation*}A^{-1}=A_{p}\cdots A_{2}A_{1}I_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{-1}=A_{p}\cdots A_{2}A_{1}
\end{equation*}として定まる。
\end{equation*}を満たす有限個の基本行列\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{p}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するものとする。このとき、\(A\)の逆行列は、\begin{equation*}A^{-1}=A_{p}\cdots A_{2}A_{1}I_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{-1}=A_{p}\cdots A_{2}A_{1}
\end{equation*}として定まる。
例（逆行列の導出方法）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。先の命題を利用して逆行列\(A^{-1}\)を特定します。\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
-5+6 & -15+15 \\
1 & 3\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1-1 & 3-0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}を得ます。単位行列\(I_{2}\)に対しても同様の行基本変形\begin{eqnarray*}R_{1} &\rightarrow &-5R_{2}+3R_{1} \\
R_{2} &\rightarrow &R_{2}-R_{1} \\
R_{2} &\rightarrow &\frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}を適用すると、\begin{eqnarray*}
I_{2} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-3 & 6\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となりますが、先の命題より、\begin{equation*}
A^{-1}=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}
AA^{-1} &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
A^{-1}A &=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
AA^{-1}=A^{-1}A=I_{2}
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。先の命題を利用して逆行列\(A^{-1}\)を特定します。\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
-5+6 & -15+15 \\
1 & 3\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1-1 & 3-0\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}を得ます。単位行列\(I_{2}\)に対しても同様の行基本変形\begin{eqnarray*}R_{1} &\rightarrow &-5R_{2}+3R_{1} \\
R_{2} &\rightarrow &R_{2}-R_{1} \\
R_{2} &\rightarrow &\frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}を適用すると、\begin{eqnarray*}
I_{2} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-3 & 6\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となりますが、先の命題より、\begin{equation*}
A^{-1}=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}
AA^{-1} &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
A^{-1}A &=&\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
AA^{-1}=A^{-1}A=I_{2}
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
上の例題では、正方行列\(A\)の行標準形を求める作業と、\(A\)の逆行列を求める作業を別々に行いましたが、以下の形で2つのプロセスを同時に進めれば効率的です。
例（逆行列の導出方法）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。先の命題を利用して逆行列\(A^{-1}\)を特定します。そこで、以下の行列\begin{equation*}\left( A,I_{2}\right) =\begin{pmatrix}
2 & 5 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}を定義した上で、小行列\(A\)の行標準形を特定する形で行簡約を進めます。具体的には、\begin{eqnarray*}\left( A,I_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & -5 \\
1 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & -5 \\
0 & 3 & -3 & 6\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & -5 \\
0 & 1 & -1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\)は正則であるとともに、その逆行列が、\begin{equation*}A^{-1}=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であることが明らかになりました。
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることは先に示した通りです。先の命題を利用して逆行列\(A^{-1}\)を特定します。そこで、以下の行列\begin{equation*}\left( A,I_{2}\right) =\begin{pmatrix}
2 & 5 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}を定義した上で、小行列\(A\)の行標準形を特定する形で行簡約を進めます。具体的には、\begin{eqnarray*}\left( A,I_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & -5 \\
1 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow -5R_{2}+3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & -5 \\
0 & 3 & -3 & 6\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & -5 \\
0 & 1 & -1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{3}R_{2}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\)は正則であるとともに、その逆行列が、\begin{equation*}A^{-1}=\begin{pmatrix}
3 & -5 \\
-1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であることが明らかになりました。
演習問題
問題（逆行列の特定）
以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
5 & -7 \\
3 & -4\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることを示すとともに、その逆行列\(A^{-1}\)を求めてください。
A=\begin{pmatrix}
5 & -7 \\
3 & -4\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることを示すとともに、その逆行列\(A^{-1}\)を求めてください。
問題（逆行列の特定）
以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & -1 & 3 \\
4 & 1 & 8\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることを示すとともに、その逆行列\(A^{-1}\)を求めてください。
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & -1 & 3 \\
4 & 1 & 8\end{pmatrix}\end{equation*}が正則であることを示すとともに、その逆行列\(A^{-1}\)を求めてください。
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