行基本行列
行列の行基本操作とは以下の3種類の操作\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j} \\
&&\left( R_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right) \\
&&\left( R_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}
\end{eqnarray*}の総称です。行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と行同値であると言います。
単位行列\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して行基本操作\(\left( R_{1}\right) ,\left( R_{2}\right) ,\left( R_{3}\right) \)の中の1つを適用することにより行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が得られる場合、このような行列\(A\)を行基本行列（row elementary matrix）と呼びます。
I_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{1}\leftrightarrow R_{2}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}が得られるため、\(A\)は行基本行列です。
I_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{2}\rightarrow 2R_{2}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られるため、\(A\)は行基本行列です。
I_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{1}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}が得られるため、\(A\)は行基本行列です。
行基本操作\(\left( R_{1}\right) ,\left(R_{2}\right) ,\left( R_{3}\right) \)の中から1つを選び、それを\(R\)で表記します。さらに、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して行基本操作\(R\)を適用することにより得られる行列を、\begin{equation*}R\left( A\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記します。その一方で、単位行列\(I_{m}\in M_{m,m}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して先の行基本操作\(R\)を適用することにより得られる行基本行列を、\begin{equation*}R\left( I_{m}\right) \in M_{m,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記します。行基本行列\(R\left( I_{m}\right) \)の列の個数と行列\(A\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため行列積\begin{equation*}R\left( I_{m}\right) A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能ですが、これは\(R\left( A\right) \)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}R\left( A\right) =R\left( I_{m}\right) A
\end{equation*}が成り立つということです。
以上の事実は、行列\(A\)に対して行基本操作\(R\)を適用することは、単位行列\(I_{m}\)に対して\(R\)を適用して基本行列\(R\left( I_{m}\right) \)を得た上で、それと\(A\)の行列積をとることと操作として一致することを意味します。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(R\left( A\right) \)は行列\(A\)に対して行基本操作\(R\)を適用することにより得られる行列であり、\(R\left( I_{m}\right) \)は単位行列\(I_{m}\in M_{m,m}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して行基本操作\(R\)を適用することにより得られる行基本行列である。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して行基本操作\begin{equation*}
R:R_{1}\leftrightarrow R_{2}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
R\left( A\right) =\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。その一方で、\begin{equation*}
R\left( I_{2}\right) =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、\begin{eqnarray*}
R\left( I_{2}\right) A &=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}
\\
&=&R\left( A\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
行基本行列は正則行列
行基本行列は正則です。つまり、行基本行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}
\end{equation*}を満たす逆行列\(A^{-1}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することが保証されます。しかも、この逆行列\(A^{-1}\)もまた行基本行列です。
行同値であることの特徴づけ
行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することにより行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と行同値であると言います。
行列\(A\)に対して行基本操作\(R\)を適用することと、基本行列\(R\left( I_{m}\right) \)と行列\(A\)の行列積をとることは操作として一致することを踏まえると、2つの行列が行同値であることを以下のように表現できます。
\end{equation*}を満たす有限\(p\)個の行基本行列\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{p}\in M_{m,m}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することは、\(A\)が\(B\)と行同値であるための必要十分条件である。
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}が可能であることは、行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値であることを意味します。したがって先の命題より、以下の条件\begin{equation*}
A_{p}\cdots A_{2}A_{1}A=B
\end{equation*}を満たす有限\(p\)個の行基本行列\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{p}\)が存在するはずです。実際、\(A\)から\(B\)を得る過程で適用した4つの行基本変形を単位行列\(I_{2}\)に対してそれぞれ適用することにより得られる行基本行列を、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
A_{2} &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
A_{3} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
A_{4} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}で表記すると、\begin{equation*}
A_{4}A_{3}A_{2}A_{1}A=B
\end{equation*}が成り立ちます（確認してください）。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】