行列の行基本操作
行列に対して行う以下の3種類の操作を総称して行基本操作（elementary row operation）と呼びます。また、行列に対して行基本操作を適用することを行簡約（row reduce）と呼びます。
- 第\(i\)行と第\(j\)行を入れ替える。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\leftrightarrow R_{j}\end{equation*}で表記する。
- 第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛ける。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right) \end{equation*}で表記する。
- 第\(j\)行のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)行に加える。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}\end{equation*}で表記する。
操作2と操作3を同時に適用することもできます。つまり、第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛けた上で、さらに第\(j\)行のスカラー\(k^{\prime }\in \mathbb{R} \)倍を加えるということです。この一連の操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}+k^{\prime }R_{j}\quad \left( k_{1}\not=0\right)
\end{equation*}で表記します。
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{1}\leftrightarrow R_{2}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{1}\rightarrow 3R_{1}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3\cdot 3 & 3\cdot 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
9+2\cdot 1 & 12+2\cdot 2 \\
1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1-11 & 2-16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。以上の一連の行基本操作を、\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}と表現することもできます。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。この連立1次方程式の拡大係数行列は、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}です。以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{2}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}
\end{eqnarray*}によって得られた拡大係数行列は連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x+0y=1 \\
0x+y=1\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x=1 \\
y=1\end{array}\right.
\end{equation*}に対応します。これはもとの連立1次方程式の解です。
行同値な行列
行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と行同値（row equivalent）であると言います。
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}が可能であることは、行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値であることを意味します。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列に対して以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{2}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}
\end{eqnarray*}が可能ですが、以上の事実は拡大係数行列が以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値であることを意味します。
行列の行基本操作の逆操作
行列の行基本操作とは以下の3種類の操作\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j} \\
&&\left( E_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\\
&&\left( E_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}
\end{eqnarray*}の総称ですが、それぞれについて逆操作に相当する行基本操作が存在します。具体的には以下の通りです。
行列\(A\)に対して行基本操作\begin{equation*}\left( E_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j}
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して再び\(\left( E_{1}\right) \)を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{1}\right) \)は\(\left( E_{1}\right) \)自身の逆操作に相当する行基本操作です。
行列\(A\)に対して行基本操作\begin{equation*}\left( E_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して以下の行基本操作\begin{equation*}\left( E_{2}^{\prime }\right) \ R_{i}\rightarrow \frac{1}{k}R_{i}\quad
\left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{2}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{2}\right) \)の逆操作に相当する行基本操作です。
行列\(A\)に対して行基本操作\begin{equation*}\left( E_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して以下の操作\begin{equation*}\left( E_{3}^{\prime }\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}-kR_{j}
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{3}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{3}\right) \)の逆操作に相当する行基本操作です。
行列の行基本操作には逆操作に相当する行基本操作が存在することが明らかになりました。したがって、行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して逆の順番で逆操作を順番に適用させれば有限ステップでもとの行列\(A\)が得られます。つまり、行列\(A\)が行列\(B\)と行同値である場合には、\(B\)は\(A\)と行同値であることが保証されるということです。
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}の逆操作に相当する以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}+R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow \frac{1}{3}R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2}
\end{eqnarray*}が可能です。したがって、以下の2つの行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}はお互いに行同値です。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列に対して以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{2}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}
\end{eqnarray*}が可能です。以下の逆操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow 2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}+R_{1}
\end{eqnarray*}も可能であるため、以下の2つの行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}はお互いに行同値です。
行同値な行列は同じ行空間を持つ
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これは\(m\)個の行\begin{gather*}\mathrm{row}\left( A,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right)
\end{gather*}を持ちますが、これらはいずれも\(n\)次元の行ベクトルであるため、その線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)のすべての行の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left( A,m\right)
\end{equation*}という形で表現される\(n\)次元の行ベクトルです。
行列\(A\)のすべての行の線型結合がどのような行ベクトルになるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\)の選び方に依存します。したがって、行列\(A\)の行の線型結合をすべて集めることで得られる集合、すなわち行列\(A\)のすべての行からなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right)
\right\}
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{eqnarray*}
\mathrm{row}\left( A\right) &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left(
A,m\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。これを行列\(A\)の行空間と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
2つの行列が行同値である場合には、両者の行空間が一致することが保証されます。つまり、行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで\(B\)が得られる場合には、\begin{equation}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。行空間の定義を踏まえると、\(\left(1\right) \)が成り立つことは、\(A\)の行の線型結合を任意に選んだとき、それは\(B\)の行の何らかの線型結合として表現できるとともに、逆に、\(B\)の行の線型結合を任意に選んだとき、それは\(A\)の行の何らかの線型結合として表現できることを意味します。
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{eqnarray*}は行同値です。\(A\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1,2\right)
,\left( 3,4\right) \right\} \right)
\end{equation*}であり、\(B\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( B\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 11,16\right)
,\left( -10,-14\right) \right\} \right)
\end{equation*}ですが、先の命題より、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列は、\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}ですが、先に示したように、これは以下の行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値です。\(A\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1,1,2\right)
,\left( 1,3,4\right) \right\} \right)
\end{equation*}であり、\(B\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( B\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1,0,1\right)
,\left( 0,1,1\right) \right\} \right)
\end{equation*}ですが、先の命題より、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
行同値は同値関係
実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\text{は}B\text{と行同値}
\end{equation*}を満たすものとして\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(R\)を定義します。つまり、行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、そしてその場合にのみ、\(R\)のもとで\(A\)は\(B\)と関係を持つものとして\(R\)を定義するということです。このように定義された\(R\)は同値関係です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,A\right) \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \Rightarrow R\left( B,A\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \wedge R\left( B,C\right) \Rightarrow R\left(
A,C\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義する。\(R\)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の同値関係である。
演習問題
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、以下の順番で行基本操作を適用した場合に最終的に得られる行列を明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
\left( 1\right) \ R_{1} &\rightarrow &3R_{1} \\
\left( 2\right) \ R_{1} &\rightarrow &R_{1}+2R_{2} \\
\left( 3\right) \ R_{1} &\leftrightarrow &R_{2}
\end{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -1 \\
2 & -1 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、以下の順番で行基本操作を適用した場合に最終的に得られる行列を明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
\left( 1\right) \ R_{2} &\rightarrow &-2R_{1}+R_{2} \\
\left( 2\right) \ R_{3} &\rightarrow &-3R_{1}+R_{3} \\
\left( 3\right) \ R_{3} &\rightarrow &-7R_{2}+3R_{3}
\end{eqnarray*}
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