行列の行基本操作
行列に対して行う以下の3種類の操作を総称して行基本操作（elementary row operation）と呼びます。また、行列に対して行基本操作を適用することを行簡約（row reduce）と呼びます。
- 第\(i\)行と第\(j\)行を入れ替える。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\leftrightarrow R_{j}\end{equation*}で表記する。
- 第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛ける。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right)\end{equation*}で表記する。
- 第\(j\)行のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)行に加える。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}\end{equation*}で表記する。
操作2と操作3を同時に適用することもできます。つまり、第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛けた上で、さらに第\(j\)行のスカラー\(k^{\prime }\in \mathbb{R} \)倍を加えるということです。この一連の操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}+k^{\prime }R_{j}\quad \left( k_{1}\not=0\right)
\end{equation*}で表記します。
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{1}\leftrightarrow R_{2}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{1}\rightarrow 3R_{1}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3\cdot 3 & 3\cdot 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
9+2\cdot 1 & 12+2\cdot 2 \\
1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して行基本操作\begin{equation*}
R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{equation*}を適用すると以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1-11 & 2-16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。以上の一連の行基本操作を、\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}と表現することもできます。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。この連立1次方程式の拡大係数行列は、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}です。以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{2}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}
\end{eqnarray*}によって得られた拡大係数行列は連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x+0y=1 \\
0x+y=1\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x=1 \\
y=1\end{array}\right.
\end{equation*}に対応します。これはもとの連立1次方程式の解です。
行同値な行列
行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と行同値（row equivalent）であると言います。
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}が可能であることは、行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値であることを意味します。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列に対して以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{2}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}
\end{eqnarray*}が可能ですが、以上の事実は拡大係数行列が以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値であることを意味します。
行列の行基本操作の逆操作
行列の行基本操作とは以下の3種類の操作\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j} \\
&&\left( E_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}
\end{eqnarray*}の総称ですが、それぞれについて逆操作に相当する行基本操作が存在します。具体的には以下の通りです。
行列\(A\)に対して行基本操作\begin{equation*}\left( E_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j}
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して再び\(\left( E_{1}\right) \)を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{1}\right) \)は\(\left( E_{1}\right) \)自身の逆操作に相当する行基本操作です。
行列\(A\)に対して行基本操作\begin{equation*}\left( E_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して以下の行基本操作\begin{equation*}\left( E_{2}^{\prime }\right) \ R_{i}\rightarrow \frac{1}{k}R_{i}\quad
\left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{2}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{2}\right) \)の逆操作に相当する行基本操作です。
行列\(A\)に対して行基本操作\begin{equation*}\left( E_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}
\end{equation*}を適用することにより行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して以下の操作\begin{equation*}\left( E_{3}^{\prime }\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}-kR_{j}
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{3}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{3}\right) \)の逆操作に相当する行基本操作です。
行列の行基本操作には逆操作に相当する行基本操作が存在することが明らかになりました。したがって、行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られた場合、その行列\(B\)に対して逆の順番で逆操作を順番に適用させれば有限ステップでもとの行列\(A\)が得られます。つまり、行列\(A\)が行列\(B\)と行同値である場合には、\(B\)は\(A\)と行同値であることが保証されるということです。
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}の逆操作に相当する以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}+R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow \frac{1}{3}R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2}
\end{eqnarray*}が可能です。したがって、以下の2つの行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}はお互いに行同値です。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列に対して以下の行基本操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow \frac{1}{2}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}
\end{eqnarray*}が可能です。以下の逆操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow 2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}+R_{1}
\end{eqnarray*}も可能であるため、以下の2つの行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}はお互いに行同値です。
行同値な行列は同じ行空間を持つ
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これは\(m\)個の行\begin{gather*}\mathrm{row}\left( A,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right)
\end{gather*}を持ちますが、これらはいずれも\(n\)次元の行ベクトルであるため、その線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)のすべての行の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left( A,m\right)
\end{equation*}という形で表現される\(n\)次元の行ベクトルです。
行列\(A\)のすべての行の線型結合がどのような行ベクトルになるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\)の選び方に依存します。したがって、行列\(A\)の行の線型結合をすべて集めることで得られる集合、すなわち行列\(A\)のすべての行からなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right)
\right\}
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{eqnarray*}
\mathrm{row}\left( A\right) &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left(
A,m\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。これを行列\(A\)の行空間と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
2つの行列が行同値である場合には、両者の行空間が一致することが保証されます。つまり、行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで\(B\)が得られる場合には、\begin{equation}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。行空間の定義を踏まえると、\(\left(1\right) \)が成り立つことは、\(A\)の行の線型結合を任意に選んだとき、それは\(B\)の行の何らかの線型結合として表現できるとともに、逆に、\(B\)の行の線型結合を任意に選んだとき、それは\(A\)の行の何らかの線型結合として表現できることを意味します。
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{eqnarray*}は行同値です。\(A\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1,2\right)
,\left( 3,4\right) \right\} \right)
\end{equation*}であり、\(B\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( B\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 11,16\right)
,\left( -10,-14\right) \right\} \right)
\end{equation*}ですが、先の命題より、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\(\left( 1,2\right) \in \mathrm{row}\left(A\right) \)に対しては、\begin{equation*}\left( 1,2\right) =1\left( 11,16\right) +1\left( -10,-14\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( 1,2\right) \in \mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}であり、\(\left( 3,4\right) \in \mathrm{row}\left(A\right) \)に対しては、\begin{equation*}\left( 3,4\right) =-\frac{1}{3}\left( 11,16\right) -\frac{2}{3}\left(
-10,-14\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( 3,4\right) \in \mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}となります。したがって、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) \subset \mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( B\right) \subset \mathrm{row}\left( A\right)
\end{equation*}もまた同様にして確認できます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列は、\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}ですが、先に示したように、これは以下の行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値です。\(A\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1,1,2\right)
,\left( 1,3,4\right) \right\} \right)
\end{equation*}であり、\(B\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( B\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1,0,1\right)
,\left( 0,1,1\right) \right\} \right)
\end{equation*}ですが、先の命題より、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{row}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
行同値な行列の列ベクトルどうしの線型独立・線型従属関係は一致する
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これは\(n\)個の列\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{equation*}を持ちますが、これらはいずれも\(m\)次元の列ベクトルであるため、その線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)のすべての列の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{equation*}という形で表現される\(m\)次元の列ベクトルです。
2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が行同値である場合には、スカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{0}\Leftrightarrow k_{1}\mathrm{col}\left( B,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( B,n\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、2つの行列\(A,B\)が行同値である場合には、スカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\)のもとで行列\(A\)の列ベクトルの線型結合がゼロベクトルになることと、同じスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\)のもとで行列\(B\)の列ベクトルの線型結合がゼロベクトルになることは必要十分になります。
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題はどのような意味において有用なのでしょうか。
2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が行同値であるものとします。さらに、\(A\)の列ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\}
\end{equation*}が線型独立であるものとします。これは、変数\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,1\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が唯一の解\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を持つことを意味します。すると先の命題より、変数\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( B,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( B,1\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}もまた唯一の解\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を持つため、\(B\)の列ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( B,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( B,n\right)
\right\}
\end{equation*}もまた線型独立になります。結論を整理すると、2つの行列\(A,B\)が行同値である場合、\(A\)の列ベクトル集合が線型独立であることと、\(B\)の列ベクトル集合が線型独立であることは必要十分になります。
線型従属関係についても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が行同値であるものとします。さらに、\(A\)の列ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\}
\end{equation*}が線型従属であり、列ベクトル\(\mathrm{col}\left( A,1\right) \)が他の\(n-1\)個の列ベクトルの線型結合として表現できるものとします。つまり、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,1\right) =k_{2}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{equation*}を満たすスカラー\(k_{2},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)が存在するということです。このとき、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,1\right) -k_{2}\mathrm{col}\left( A,1\right) -\cdots -k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちますが、先の命題より、これは以下の命題\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( B,1\right) -k_{2}\mathrm{col}\left( B,1\right) -\cdots -k_{n}\mathrm{col}\left( B,n\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( B,1\right) =k_{2}\mathrm{col}\left( B,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( B,n\right)
\end{equation*}と必要十分です。以上の事実は、\(B\)の列ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( B,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( B,n\right)
\right\}
\end{equation*}が線型従属であり、列ベクトル\(\mathrm{col}\left( B,1\right) \)が他の\(n-1\)個の列ベクトルの線型結合として表現できることを意味します。結論を整理すると、2つの行列\(A,B\)が行同値である場合、\(A\)の列ベクトル集合が従属であることと、\(B\)の列ベクトル集合が線型従属であることは必要十分であるとともに、両者の列ベクトルの間の相対的な線型従属関係もまた一致します。
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{eqnarray*}は行同値です。\(A\)の列ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
4\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}は線型独立であるため、先の命題より、\(B\)の列ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
11 \\
-10\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
16 \\
-14\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}もまた線型独立です。
\begin{array}{r}
x+y=2 \\
x+3y=4\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列は、\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}ですが、先に示したように、これは以下の行列\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と行同値です。\(B\)の列ベクトル集合は、\begin{equation}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}ですが、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) =1\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) +1\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}となります。つまり、\(\left( 1\right) \)の第\(3\)列は第\(1\)列と第\(2\)列の線型結合として表されるため\(\left( 1\right) \)は線型従属です。\(A\)の列ベクトル集合は、\begin{equation}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
4\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、先の命題より、\(\left( 2\right) \)の第\(3\)列は第\(1\)列と第\(2\)列の線型結合として表されるはずです。実際、\begin{equation*}1\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) +1\left(
\begin{array}{c}
1 \\
3\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
4\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
行同値は同値関係
実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\text{は}B\text{と行同値}
\end{equation*}を満たすものとして\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(R\)を定義します。つまり、行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、そしてその場合にのみ、\(R\)のもとで\(A\)は\(B\)と関係を持つものとして\(R\)を定義するということです。このように定義された\(R\)は同値関係です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,A\right) \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \Rightarrow R\left( B,A\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \wedge R\left( B,C\right) \Rightarrow R\left(
A,C\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義する。\(R\)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の同値関係である。
演習問題
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、以下の順番で行基本操作を適用した場合に最終的に得られる行列を明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
\left( 1\right) \ R_{1} &\rightarrow &3R_{1} \\
\left( 2\right) \ R_{1} &\rightarrow &R_{1}+2R_{2} \\
\left( 3\right) \ R_{1} &\leftrightarrow &R_{2}
\end{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -1 \\
2 & -1 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、以下の順番で行基本操作を適用した場合に最終的に得られる行列を明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
\left( 1\right) \ R_{2} &\rightarrow &-2R_{1}+R_{2} \\
\left( 2\right) \ R_{3} &\rightarrow &-3R_{1}+R_{3} \\
\left( 3\right) \ R_{3} &\rightarrow &-7R_{2}+3R_{3}
\end{eqnarray*}
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