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行列

行列の基本操作(基本行操作と基本列操作)

目次

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基本行操作と行同値

行列に対して行う以下の3種類の操作を総称して基本行操作(elementary row operation)と呼びます。また、行列に対して基本行操作を適用することを行簡約(row reduce)と呼びます。

  1. 行列の第\(i\)行と第\(j\)行を交換する。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\leftrightarrow R_{j}\end{equation*}で表記する。
  2. 行列の第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛ける。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right) \end{equation*}で表記する。
  3. 行列の第\(j\)行のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)行に加え、それを第\(i\)行と置き換える。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}\end{equation*}で表記する。

操作2と操作3を同時に適用することもできます。つまり、行列の第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛けるとともに、第\(j\)行のスカラー\(k^{\prime }\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)行に加え、それを第\(i\)行と置き換えるということです。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}+k^{\prime }R_{j}\quad \left( k\not=0\right)
\end{equation*}で表記します。

例(行基本操作)
以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して基本行操作\(R_{1}\leftrightarrow R_{2}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して基本行操作\(R_{1}\rightarrow 3R_{1}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
3\cdot 3 & 3\cdot 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して基本行操作\(R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
9+2\cdot 1 & 12+2\cdot 2 \\
1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して基本行操作\(R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1-11 & 2-16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。以上の一連の操作を、\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}と表現することもできます。

行列\(A\)に対して基本行操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と行同値(row equivalent)であると言います。

例(行同値な行列)
以下のような基本行操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}が可能であることは、より前にある行列がより後にある行列と行同値であることを意味します。

 

基本列操作と列同値

行列の列を対象とする同様の操作を考えることができます。行列に対して行う以下の3種類の操作を総称して基本列操作(elementary column operation)と呼びます。また、行列に対して基本列操作を適用することを列簡約(column reduce)と呼びます。

  1. 行列の第\(i\)列と第\(j\)列を交換する。この操作を、\begin{equation*}C_{i}\leftrightarrow C_{j}\end{equation*}で表記する。
  2. 行列の第\(i\)列に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛ける。この操作を、\begin{equation*}C_{i}\rightarrow kC_{i}\quad \left( k\not=0\right) \end{equation*}で表記する。
  3. 行列の第\(j\)列のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)列に加え、それを第\(i\)列と置き換える。この操作を、\begin{equation*}C_{i}\rightarrow C_{i}+kC_{j}\end{equation*}で表記する。

操作2と操作3を同時に適用することもできます。つまり、行列の第\(i\)列に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛けるとともに、第\(j\)列のスカラー\(k^{\prime }\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)列に加え、それを第\(i\)列と置き換えるということです。この操作を、\begin{equation*}C_{i}\rightarrow kC_{i}+k^{\prime }C_{j}\quad \left( k\not=0\right)
\end{equation*}で表記します。

例(列基本操作)
以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して基本列操作\(C_{1}\leftrightarrow C_{2}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して基本列操作\(C_{1}\rightarrow 3C_{1}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
3\cdot 2 & 1 \\
3\cdot 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6 & 1 \\
12 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して基本列操作\(C_{1}\rightarrow C_{1}+2C_{2}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
6+2\cdot 1 & 1 \\
12+2\cdot 2 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
8 & 1 \\
16 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。この新たな行列に対して基本列操作\(C_{2}\rightarrow C_{2}-C_{1}\)を適用すると以下の行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
8 & 1-8 \\
16 & 2-16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
8 & -7 \\
16 & 14\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。以上の一連の操作を、\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\leftrightarrow C_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
6 & 1 \\
12 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow 3C_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
8 & 1 \\
16 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow C_{1}+2C_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
8 & -7 \\
16 & 14\end{pmatrix}\quad \because C_{2}\rightarrow C_{2}-C_{1}
\end{eqnarray*}と表現することもできます。

行列\(A\)に対して基本列操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と列同値(column equivalent)であると言います。

例(列同値な行列)
以下のような基本列操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\leftrightarrow C_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
6 & 1 \\
12 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow 3C_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
8 & 1 \\
16 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow C_{1}+2C_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
8 & -7 \\
16 & 14\end{pmatrix}\quad \because C_{2}\rightarrow C_{2}-C_{1}
\end{eqnarray*}が可能であることは、より前にある行列がより後にある行列と列同値であることを意味します。

 

行列の基本操作の逆操作

繰り返しになりますが、行列の基本行操作とは以下の3種類の操作\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j} \\
&&\left( E_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\\
&&\left( E_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}
\end{eqnarray*}の総称です。

行列\(A\)に対して操作\(\left(E_{1}\right) \)を適用して得られる行列に対して操作\(\left( E_{1}\right) \)を再び適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{1}\right) \)は\(\left( E_{1}\right) \)自身の逆操作です。

行列\(A\)に対して操作\(\left(E_{2}\right) \)を適用して得られる行列に対して以下の操作\begin{equation*}\left( E_{2}^{\prime }\right) \ R_{i}\rightarrow \frac{1}{k}R_{i}\quad
\left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{2}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{2}\right) \)の逆操作です。

行列\(A\)に対して操作\(\left(E_{3}\right) \)を適用して得られる行列に対して以下の操作\begin{equation*}\left( E_{3}^{\prime }\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}-kR_{j}
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{3}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{3}\right) \)の逆操作です。

以上の議論より、行列の基本行操作には逆操作が存在することが明らかになりました。したがって、\(A\)に対して基本行操作を有限回適用することで\(B\)が得られる場合、\(B\)に対して逆向きから逆操作を順番に適用させることにより有限ステップで\(A\)が得られることが保証されます。以上の事実は、\(A\)が\(B\)と行同値である場合には、\(B\)が\(A\)と行同値であることを意味します。

命題(基本行操作の逆操作)
2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\(A\)が\(B\)と行同値であるならば、\(B\)は\(A\)と行同値である。
例(基本行操作の逆操作)
以下のような基本行操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow 3R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}
\end{eqnarray*}に対して、以下のような逆操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}+R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
9 & 12 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-2R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow \frac{1}{3}R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\leftrightarrow R_{2}
\end{eqnarray*}が可能です。したがって、以下の2つの行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
11 & 16 \\
-10 & -14\end{pmatrix}\end{equation*}はお互いに行同値です。

基本列操作についても同様の議論が成立します。

繰り返しになりますが、行列の基本列操作とは以下の3種類の操作\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ C_{i}\leftrightarrow C_{j} \\
&&\left( E_{2}\right) \ C_{i}\rightarrow kC_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\\
&&\left( E_{3}\right) \ C_{i}\rightarrow C_{i}+kC_{j}
\end{eqnarray*}の総称です。

行列\(A\)に対して操作\(\left(E_{1}\right) \)を適用して得られる行列に対して操作\(\left( E_{1}\right) \)を再び適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{1}\right) \)は\(\left( E_{1}\right) \)自身の逆操作です。

行列\(A\)に対して操作\(\left(E_{2}\right) \)を適用して得られる行列に対して以下の操作\begin{equation*}\left( E_{2}^{\prime }\right) \ C_{i}\rightarrow \frac{1}{k}C_{i}\quad
\left( k\not=0\right)
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{2}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{2}\right) \)の逆操作です。

行列\(A\)に対して操作\(\left(E_{3}\right) \)を適用して得られる行列に対して以下の操作\begin{equation*}\left( E_{3}^{\prime }\right) \ C_{i}\rightarrow C_{i}-kC_{j}
\end{equation*}を適用すればもとの行列\(A\)が得られます。したがって、\(\left( E_{3}^{\prime}\right) \)は\(\left( E_{3}\right) \)の逆操作です。

以上の議論より、行列の基本列操作には逆操作が存在することが明らかになりました。したがって、\(A\)に対して基本列操作を有限回適用することで\(B\)が得られる場合、\(B\)に対して逆向きから逆操作を順番に適用させることにより有限ステップで\(A\)が得られることが保証されます。以上の事実は、\(A\)が\(B\)と列同値である場合には、\(B\)が\(A\)と列同値であることを意味します。

命題(基本列操作の逆操作)
2つの行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\(A\)が\(B\)と列同値であるならば、\(B\)は\(A\)と列同値である。
例(基本列操作の逆操作)
以下のような基本列操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\leftrightarrow C_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
6 & 1 \\
12 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow 3C_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
8 & 1 \\
16 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow C_{1}+2C_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
8 & -7 \\
16 & 14\end{pmatrix}\quad \because C_{2}\rightarrow C_{2}-C_{1}
\end{eqnarray*}に対して、以下のような逆操作\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
8 & -7 \\
16 & 14\end{pmatrix}
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
8 & 1 \\
16 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{2}\rightarrow C_{2}+C_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
6 & 1 \\
12 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow C_{1}-2C_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 2\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\rightarrow \frac{1}{3}C_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\quad \because C_{1}\leftrightarrow C_{2}
\end{eqnarray*}が可能です。したがって、以下の2つの行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
8 & -7 \\
16 & 14\end{pmatrix}\end{equation*}はお互いに列同値です。

 

行同値と列同値は同値関係

\(m\times n\)行列からなる集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\text{は}B\text{と行同値}
\end{equation*}を満たすものとして\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(R\)を定義します。つまり、行列\(A\)に対して基本行操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、そしてその場合にのみ、\(R\)のもとで\(A\)は\(B\)と関係を持つものとして\(R\)を定義するということです。このように定義された\(R\)は同値関係です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,A\right) \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \Rightarrow R\left( B,A\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :R\left( A,B\right) \wedge R\left( B,C\right) \Rightarrow R\left(
A,C\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

命題(行同値は同値関係)
\(m\times n\)行列からなる集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(R\)を、任意の\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\text{は}B\text{と行同値}
\end{equation*}を満たすものとして定義する。\(R\)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の同値関係である。
証明

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列同値についても同様の議論が成り立ちます。

\(m\times n\)行列からなる集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\text{は}B\text{と列同値}
\end{equation*}を満たすものとして\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(R\)を定義します。つまり、行列\(A\)に対して基本列操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、そしてその場合にのみ、\(R\)のもとで\(A\)は\(B\)と関係を持つものとして\(R\)を定義するということです。このように定義された\(R\)は同値関係です。証明は先の命題と同様です。

命題(列同値は同値関係)
\(m\times n\)行列からなる集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(R\)を、任意の\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\text{は}B\text{と列同値}
\end{equation*}を満たすものとして定義する。\(R\)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の同値関係である。

 

演習問題

問題(行基本操作)
以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、以下の順番で行基本操作を適用した場合に最終的に得られる行列を明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
\left( 1\right) \ R_{1} &\rightarrow &3R_{1} \\
\left( 2\right) \ R_{1} &\rightarrow &R_{1}+2R_{2} \\
\left( 3\right) \ R_{1} &\leftrightarrow &R_{2}
\end{eqnarray*}
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問題(行基本操作)
以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -1 \\
2 & -1 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、以下の順番で行基本操作を適用した場合に最終的に得られる行列を明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
\left( 1\right) \ R_{2} &\rightarrow &-2R_{1}+R_{2} \\
\left( 2\right) \ R_{3} &\rightarrow &-3R_{1}+R_{3} \\
\left( 3\right) \ R_{3} &\rightarrow &-7R_{2}+3R_{3}
\end{eqnarray*}
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