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実ベクトル空間における線型結合と線型スパン

目次

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ベクトルの線型結合

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上にはベクトル加法とスカラー乗法が定義されており、それらの演算について閉じています。したがって、\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)とスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}もまたベクトルになること、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素になることが保証されます。そこで、上のように定義されるベクトルを\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合(linear combination)と呼びます。

例(ベクトルの線型結合)
2次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) \)における2つのベクトル\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by &=&a\left( x_{1},x_{2}\right) +b\left( y_{1},y_{2}\right) \\
&=&\left( ax_{1},ax_{2}\right) +\left( by_{1},by_{2}\right) \\
&=&\left( ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2}\right)
\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。また、3つのベクトル\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
z &=&\left( z_{1},z_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by+cz &=&a\left( x_{1},x_{2}\right) +b\left( y_{1},y_{2}\right) +c\left(
z_{1},z_{2}\right) \\
&=&\left( ax_{1},ax_{2}\right) +\left( by_{1},by_{2}\right) +\left(
cz_{1},cz_{2}\right) \\
&=&\left( ax_{1}+by_{1}+cz_{1},ax_{2}+by_{2}+cz_{2}\right)
\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。ベクトル\begin{equation*}
x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\left( x_{1},0\right) +\left( 0,x_{2}\right) \\
&=&x_{1}\left( 1,0\right) +x_{2}\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}と変形できます。つまり、任意のベクトル\(x\)は以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
e_{2} &=&\left( 0,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}の線型結合として常に表せるということです。この2つのベクトル\(e_{1},e_{2}\)を\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) \)の基本単位ベクトル(fundamental unit vector)と呼びます。
例(ベクトルの線型結合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)における2つのベクトル\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by &=&a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +b\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right)
\\
&=&\left( ax_{1},ax_{2},ax_{3}\right) +\left( by_{1},by_{2},by_{3}\right) \\
&=&\left( ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2},ax_{3}+by_{3}\right)
\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。また、3つのベクトル\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
z &=&\left( z_{1},z_{2},z_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by+cz &=&a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +b\left(
y_{1},y_{2},y_{3}\right) +c\left( z_{1},z_{2},z_{3}\right) \\
&=&\left( ax_{1},ax_{2},ax_{3}\right) +\left( by_{1},by_{2},by_{3}\right)
+\left( cz_{1},cz_{2},cz_{3}\right) \\
&=&\left(
ax_{1}+by_{1}+cz_{1},ax_{2}+by_{2}+cz_{2},ax_{3}+by_{3}+cz_{3}\right)
\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。ベクトル\begin{equation*}
x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
&=&\left( x_{1},0,0\right) +\left( 0,x_{2},0\right) +\left( 0,0,x_{3}\right)
\\
&=&x_{1}\left( 1,0,0\right) +x_{2}\left( 0,1,0\right) +x_{3}\left(
0,0,1\right)
\end{eqnarray*}と変形できます。つまり、任意のベクトル\(x\)は以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{2} &=&\left( 0,1,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{3} &=&\left( 0,0,1\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}の線型結合として常に表せるということです。この3つのベクトル\(e_{1},e_{2},e_{3}\)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の基本単位ベクトルです。

 

実ベクトル空間の部分集合の線型スパン

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)が与えられたとき、その非空の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。仮定より\(X\)は非空であるためベクトル\(x_{1},\cdots,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を選ぶことができますが、これらの線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表されます。集合\(X\)に属するベクトルの線型結合をすべて網羅するためにはどのように考えればよいでしょうか。まずは、集合\(X\)から選んでくるベクトルの個数\(m\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。ベクトルの個数\(m\)が決まったら、次は\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。ベクトルの個数\(m\)とベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が決まったら、最後に\(m\)個のスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。このように考えると、ベクトル空間\(V\)の非空な部分集合\(X\)のベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( X\right) &=&\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\wedge a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left( x_{i}\in X\wedge
a_{i}\in \mathbb{R} \right) \right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。これを\(X\)の線型スパン(linear span)や線型包(linear hull)などと呼びます。明らかに\(\mathrm{span}\left( X\right)\subset \mathbb{R} ^{n}\)です。

例(実ベクトル空間の部分集合の線型スパン)
2次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) \)について考えます。ゼロベクトルとは異なるベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}を任意に選んだ上で、これだけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}
\left\{ x\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合であるため、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) &=&\left\{ ax\ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義} \\
&=&\left\{ a\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( ax_{1},ax_{2}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(x\)は非ゼロベクトルであるため、\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)は平面において2つの点\begin{eqnarray*}0 &=&\left( 0,0\right) \\
x &=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{eqnarray*}を通過する直線上のすべての点からなる集合です。続いて、ゼロベクトルとは異なり、なおかつ方向の異なる2つのベクトル\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}を任意に選んだ上で、これらを要素として持つ集合\begin{equation*}
\left\{ x,y\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合であるため、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) \)をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) &=&\left\{ ax+by\ |\
a,b\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義} \\
&=&\left\{ a\left( x_{1},x_{2}\right) +b\left( y_{1},y_{2}\right) \ |\
a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(x,y\)は非ゼロかつ方向の異なるベクトルであるため、\(\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) \)は2次元空間において3つの点\begin{eqnarray*}0 &=&\left( 0,0\right) \\
x &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \\
y &=&\left( y_{1},y_{2}\right)
\end{eqnarray*}を通過する平面上のすべての点からなる集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)に他なりません。
例(実ベクトル空間の部分集合の線型スパン)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。ゼロベクトルとは異なるベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{equation*}を任意に選んだ上で、これだけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}
\left\{ x\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の非空な部分集合であるため、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) &=&\left\{ ax\ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義} \\
&=&\left\{ a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( ax_{1},ax_{2},ax_{3}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(x\)は非ゼロベクトルであるため、\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)は3次元空間において2つの点\begin{eqnarray*}0 &=&\left( 0,0,0\right) \\
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)
\end{eqnarray*}を通過する直線上のすべての点からなる集合です。続いて、ゼロベクトルとは異なり、なおかつ方向の異なる2つのベクトル\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}を任意に選んだ上で、これらを要素として持つ集合\begin{equation*}
\left\{ x,y\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の非空な部分集合であるため、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) \)をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) &=&\left\{ ax+by\ |\
a,b\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義} \\
&=&\left\{ a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +b\left(
y_{1},y_{2},y_{3}\right) \ |\ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2},ax_{3}+by_{3}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(x,y\)は非ゼロかつ方向の異なるベクトルであるため、\(\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) \)は3次元空間において3つの点\begin{eqnarray*}0 &=&\left( 0,0,0\right) \\
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right)
\end{eqnarray*}を通過する平面上のすべての点からなる集合です。

逆に、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)の要素であるベクトル\(x\in \mathrm{span}\left( X\right) \)を任意に選んだとき、線型スパンの定義より、これは\(X\)のベクトルの何らかの線型結合として表現できることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathrm{span}\left( X\right) ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{m}\in X,\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(実ベクトル空間の部分集合の線型スパン)
2次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) \)について考えます。以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
e_{2} &=&\left( 0,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}に注目します。ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\left( x_{1},0\right) +\left( 0,x_{2}\right) \\
&=&x_{1}\left( 1,0\right) +x_{2}\left( 0,1\right) \\
&=&x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)の任意のベクトルは先の2つのベクトルの何らかの線型結合として表現できますが、これは、\begin{equation*}x\in \mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味するため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}\subset \mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2}\right\} \right)
\end{equation*}を得ます。逆に、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2}\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}は明らかに成り立つため、結局、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}=\mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2}\right\} \right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

例(実ベクトル空間の部分集合の線型スパン)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{2} &=&\left( 0,1,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{3} &=&\left( 0,0,1\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}に注目します。ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
&=&\left( x_{1},0,0\right) +\left( 0,x_{2},0\right) +\left( 0,0,x_{3}\right)
\\
&=&x_{1}\left( 1,0,0\right) +x_{2}\left( 0,1,0\right) +x_{3}\left(
0,0,1\right) \\
&=&x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{3}\)の任意のベクトルは先の3つのベクトルの何らかの線型結合として表現できますが、これは、\begin{equation*}x\in \mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味するため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}\subset \mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} \right)
\end{equation*}を得ます。逆に、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}は明らかに成り立つため、結局、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=\mathrm{span}\left( \left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} \right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

 

最小の部分空間としての線型スパン

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)が与えられたとき、その非空の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \subset \mathbb{R} ^{n}\)をとります。この線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は以下の3つの性質を満たすことが保証されます。1つ目の性質は、線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)はそれを生成するもととなった集合\(X\)を部分集合として持つこと、すなわち、\begin{equation*}X\subset \mathrm{span}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つということです。2つ目の性質は、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるということです。3つ目の性質は、\(\mathrm{span}\left( X\right) \)を生成するもととなった集合\(X\)を部分集合として含む\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(Y\)を任意に選んだときに、\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は\(Y\)の部分集合になること、すなわち、\(X\subset Y\)を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分空間\(Y\)に対して、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つということです。以上の3つの性質をまとめると、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空の部分集合\(X\)の線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)は、\(X\)を部分集合として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の最小の部分空間であるということになります。このような事情を踏まえた上で、線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)のことを\(X\)によって張られる部分空間(subspace spanned by \(X\))や\(X\)によって生成される部分空間(subspace generated by \(X\))などと呼ぶこともできます。

問題(最小の部分ベクトル空間としての線型スパン)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)が与えられたとき、その非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。その線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるとともに、\(X\subset Y\)を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(Y\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}X\subset \mathrm{span}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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部分空間の共通部分としての線型スパン

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の非空の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \subset \mathbb{R} ^{n}\)をとります。その一方で、\(X\)を部分集合として含む\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間をすべて集めてできる集合族を\(\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)で表記します。つまり、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について\(Y_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるとともに\(X\subset Y_{\lambda }\)が成り立つということです。このとき、この集合族の共通部分が\(\mathrm{span}\left( X\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

問題(部分空間の共通部分としての線型スパン)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。その線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間である。加えて、\(X\)を部分集合として含む\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間をすべて集めてできる集合族を\(\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)とするとき、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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演習問題

問題(ベクトルの線型結合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)において、以下のベクトル\begin{equation*}x=\left( 1,-2,5\right)
\end{equation*}を以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( 1,1,1\right) \\
x_{2} &=&\left( 1,2,3\right) \\
x_{3} &=&\left( 2,-1,1\right)
\end{eqnarray*}の線型結合として表してください。

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問題(線型スパン)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)における以下のベクトル\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\left( 1,2,3\right) \\
x_{2} &=&\left( 0,1,2\right) \\
x_{3} &=&\left( 0,0,1\right)
\end{eqnarray*}に注目したとき、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\} \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

証明

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問題(ベクトルの線型結合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)において、以下のベクトル\begin{equation*}x=\left( 1,-2,k\right)
\end{equation*}が以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( 3,0,-2\right) \\
x_{2} &=&\left( 2,-1,-5\right)
\end{eqnarray*}の線型結合として表されるために\(k\in \mathbb{R} \)が満たすべき条件を明らかにしてください。
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問題(