実ベクトル空間上のベクトルの線型結合と線型スパン

ベクトルの線型結合

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上にはベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n} \\
\cdot &:&\mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が定義されており、これらの演算について閉じています。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。では、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトルに対してこれらの演算を組み合せる形で適用するとどうなるでしょうか。有限\(m\in \mathbb{N} \)個ずつのスカラーとベクトル\begin{eqnarray}a_{1},\cdots ,a_{m} &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (1) \\
\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m} &\in &\mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}をそれぞれ任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\begin{gather*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}\in \mathbb{R} ^{n} \\
\vdots \\
a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{gather*}がいずれも成り立つため、これと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。つまり、有限個のスカラーとベクトル\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、そこから1つのベクトル\(\left( 3\right) \)が常に定義可能であるということです。そこで、\(\left( 3\right) \)として定義されるベクトルをベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合（linear combination）や一次結合などと呼びます。

ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合\(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots+a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)の選び方に依存します。同じベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)を対象としていても、その線型結合は一意的ではないということです。

ベクトルの線型結合を考える際に、結合するベクトルの個数\(m\)は有限である限りにおいて任意です。例えば、1個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合は何らかのスカラー\(a_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表され、2個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+a_{2}\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表され、3個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+a_{2}\boldsymbol{x}_{2}+a_{3}\boldsymbol{x}_{3}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表されます。4個以上のベクトルについても同様です。

ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、スカラー\(0,\cdots ,0\in \mathbb{R} \)のもとでの線型結合は、\begin{equation*}0\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +0\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}となり、その結果はゼロベクトルになります。つまり、ゼロベクトルは任意のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合として表現可能です。

線型結合のスカラーを特定する方法

あるベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)が有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合として表されるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation}\boldsymbol{v}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在するということです。その一方で、スカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)の具体的な値が不明である状況において、それを具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。

成分を特定する形で先のベクトル方程式\(\left( 1\right) \)を表現すると、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{11} \\
\vdots \\
x_{1n}\end{array}\right) +\cdots +a_{m}\left(
\begin{array}{c}
x_{m1} \\
\vdots \\
x_{mn}\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x_{11}+\cdots +a_{m}x_{m1} \\
\vdots \\
a_{1}x_{1n}+\cdots +a_{m}x_{mn}\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)を変数とみなした上で以下の連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{1}x_{11}+\cdots +a_{m}x_{m1}=v_{1} \\
\vdots \\
a_{1}x_{1n}+\cdots +a_{m}x_{mn}=v_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}を解くことにより、その解として\(\left( 1\right) \)を満たすスカラーの組\(\left( a_{1},\cdots ,a_{m}\right) \)が明らかになります。

ベクトルの線型スパン

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が与えられた状況において、その要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を選んだとき、これらのベクトルの線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表すことができます。この線型結合がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)の選び方に依存します。そこで、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right)
=\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記し、これをベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型スパン（linear span）や線型包（linear hull）などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right)
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(Y\)が与えられたとき、それを何らかのベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型スパンとして表現できる場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}:Y=\mathrm{span}\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)は集合\(Y\)を張る（span）とか生成する（generate）などと言います。また、集合\(Y\)を張るベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\}
\end{equation*}のことを、集合\(Y\)を張る集合（spanning set for \(Y\)）や生成する集合（generating set）などと呼びます。線型スパンの定義より、このとき、\(Y\)の要素であるベクトルはいずれもベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の何らかの線型結合として表現できます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in Y,\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{y}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つということです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトルを考えることもできます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}:\mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つとき、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ると言います。これは、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するベクトルはいずれもベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の何らかの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

集合の線型スパン

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が与えられた状況において、非空の部分集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を任意に選びます。\(X\)は非空であるため、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X\)を選ぶことができますが、その線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表すことができます。

非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の要素であるベクトルの線型結合をすべて網羅するためにはどのように考えればよいでしょうか。まずは、集合\(X\)の中から取り出すベクトルの個数\(m\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。結合するベクトルの個数\(m\)が決まったら、次は\(m\)個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X\)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。結合するベクトルの個数\(m\)とベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)が決まったら、最後に\(m\)個のスカラー\(a_{1},\cdots,a_{m}\in \mathbb{R} \)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。このように考えると、集合\(X\)の要素であるベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( X\right) &=&\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots
+a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X\wedge a_{1},\cdots
,a_{m}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \sum_{i=1}^{m}a_{i}\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left( \boldsymbol{x}_{i}\in X\wedge a_{i}\in \mathbb{R} \right) \right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。これを\(X\)の線型スパン（linear span）や線型包（linear hull）などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(Y\)が与えられたとき、それを何らかの集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の線型スパンとして表現できる場合には、すなわち、\begin{equation}\exists X\subset \mathbb{R} ^{n}:Y=\mathrm{span}\left( X\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、集合\(X\)のことを集合\(Y\)を張る集合（spanning set for \(Y\)）や生成する集合（generating set）などと呼びます。線型スパンの定義より、このとき、\(Y\)の要素であるベクトルはいずれも\(X\)の要素であるベクトルの何らかの線型結合として表現できます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in Y,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X,\ \exists
a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{y}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つということです。\(\left( 1\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( X\right) ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X,\ \exists
a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}もまた成り立ちます。

繰り返しになりますが、有限\(m\)個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型スパンは、\begin{equation}\mathrm{span}\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right)
=\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。これらのベクトルを要素として持つ集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\}
\end{equation*}を構成すれば、その線型スパン\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}をとることができますが、これは\(\left( 1\right) \)と一致することが保証されます。

以上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型スパンはいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の線型スパンとして表現可能であることが明らかになりました。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の線型スパンはベクトルの線型スパンよりも一般的な概念であるということです。そこで、以降では\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の線型スパンを用います。

線型スパンは部分空間

実ベクトル空間の非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の線型スパンとは、\(X\)の要素であるベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合であり、具体的には、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) =\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X\wedge a_{1},\cdots
,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と定義されます。これは非空な部分集合であるため\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるか検討できますが、実際、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になることが保証されます。

線型スパンの代替的な定義

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることが明らかになりました。では、これはどのような性質を満たす部分空間でしょうか。順番に考えます。

線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は、自身を生成するもととなった集合\(X\)を部分集合として持ちます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、\(X\)を部分集合として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間を集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、この集合族は以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :Y_{\lambda }\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{の部分空間} \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :X\subset Y_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されるということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)自身は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるとともに\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)はこの集合族の要素の1つです。先の命題より、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)もまたこの集合族の要素の1つですが、実は、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)はこの集合族の要素の中でも最小の集合です。つまり、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathrm{span}\left( X\right) \subset
Y_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。すると、集合族の共通部分の定義より、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( X\right) \subset \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}を得ます。さらに、これとは逆に、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }\subset \mathrm{span}\left( X\right)
\end{equation*}もまた成り立つことが示されるため、結局、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( X\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}を得ます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(X\)を部分集合として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間を集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。上の命題を踏まえると、この集合族の要素であり、なおかつこの集合族の共通部分であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合として\(X\)の線型スパンという概念を定義することができます。つまり、\(X\)を部分集合として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間からなる集合族が明らかであれば、ベクトルの線型結合などの概念を経由することなく、\(X\)の線型スパンという概念を定義できるということです。

演習問題