サイクロイド

サイクロイドの定義

媒介変数\(t\)が全区間\(\mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
r\left[ t-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \end{equation*}を定義します。ただし、\(r\not=0\)です。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によって定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線をサイクロイド（cycloid）と呼びます。つまり、サイクロイドのベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であり、サイクロイドの媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
y=r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。したがって、サイクロイドそのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。サイクロイドを規定する\(r\)を動円の半径（radius）と呼びます。

点\(\left( 0,r\right) \)を中心とする半径\(\left\vert r\right\vert \)の円が数直線の原点と交わる点を\(P\)と呼びます。サイクロイドとは、この円が滑らずに数直線上を回転しながら移動する際の点\(P\)の軌跡です（上図）。媒介変数\(t\)の値は円の回転角に相当します。

サイクロイドの弧

点\(\left( 0,r\right) \)を中心とする半径\(\left\vert r\right\vert \)の円が数直線の原点と交わる点を\(P\)と呼びます。サイクロイドとは、この円が滑らずに数直線上を回転しながら移動する際の点\(P\)の軌跡です。媒介変数\(t\)の値は円の回転角であるため、円を右側に1回転させる場合の点\(P\)の軌跡に相当する弧のベクトル方程式は、媒介変数\(t\)の値が\(0\)から\(2\pi \)へ変化させる場合の弧のベクトル方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}であり、媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
y=r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}です。したがって、弧そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \left[ 0,2\pi \right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right) \right\}
\end{equation*}となります。これをサイクロイドの弧（arc of cycloid）と呼びます。

サイクロイドの弧の始点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ 0-\sin \left( 0\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( 0\right) \right] \end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であり、終点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ 2\pi -\sin \left( 2\pi \right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( 2\pi \right) \right] \end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2\pi r \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}です。つまり、この2つの点において点\(P\)は数直線と交わります。

媒介変数\(t\)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}\left[ 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right] \quad \left( z\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}に制限することにより得られるサイクロイド上の弧について同様の議論が成り立ちます。

演習問題