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ベクトルによって張られる平行四辺形の面積

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平行四辺形を張る2つのベクトルのなす角が与えられている場合

2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、これらが平行でない場合には、すなわち、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\in \mathbb{R} \)が存在しない場合には、ベクトル\(x,y\)の始点を一致させることにより、それらを対辺とする平行四辺形を作ることができます(下図)。これをベクトル\(x,y\)によって張られる平行四辺形(parallelogram spanned by vectors \(x\) and \(y\))と呼びます。

図:平行四辺形
図:平行四辺形

点\(Y\)から線分\(OX\)へ下ろした垂線の足を\(Z\)と呼ぶのであれば、この平行四辺形の面積は、\begin{equation}OX\cdot YZ=\left\Vert x\right\Vert \cdot YZ \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。これをベクトル\(x,y\)を用いて表現するためにはどうすればいいでしょうか。まずは、2つのベクトル\(x,y\)のなす角\(\theta \)が与えられている状況を想定します。\(\theta \)は平行四辺形の内角であるため\(0<\theta <\frac{\pi }{2}\)を満たすことに注意してください。正弦の定義より、\begin{equation*}\sin \left( \theta \right) =\frac{YZ}{\left\Vert y\right\Vert }
\end{equation*}を得るため、これと\(\left( 1\right) \)より、平行四辺形の面積は、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \sin \left( \theta \right)
\end{equation*}で与えられることが明らかになりました。

命題(2次元空間における平行四辺形の面積)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の非ゼロかつ平行ではないベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角が\(\theta \)である場合、\(x\)と\(y\)によって張られる平行四辺形の面積は、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \sin \left( \theta \right) =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\sin \left( \theta
\right)
\end{equation*}である。

3次元空間についても同様です。

命題(3次元空間における平行四辺形の面積)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の非ゼロかつ平行ではないベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角が\(\theta \)である場合、\(x\)と\(y\)によって張られる平行四辺形の面積は、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \sin \left( \theta \right) =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}\sin
\left( \theta \right)
\end{equation*}である。

 

平行四辺形の面積と外積の関係

2つのベクトルによって張られる平行四辺形について再び考えます。

図:平行四辺形
図:平行四辺形

上図から明らかであるように、ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)とはベクトル\(y\)のベクトル\(x\)へのベクトル射影に他なりません。つまり、\begin{equation*}\overrightarrow{OZ}=\mathrm{proj}_{x}y
\end{equation*}という関係が成り立つということです。したがって、ベクトル\(x,y\)が与えられれば線分\(OZ\)の長さを、\begin{equation*}\left\Vert \mathrm{proj}_{x}y\right\Vert
\end{equation*}として計算できます。\(OY\)の長さは\(\left\Vert y\right\Vert \)であるため、三平方の定理より\(YZ\)の長さが明らかになるため、そこから平行四辺形の面積が明らかになります。具体的には以下の通りです。

命題(2次元空間における平行四辺形の面積)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の非ゼロかつ平行ではないベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)によって張られる平行四辺形の面積は、\begin{equation*}\sqrt{\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}-\left( x\cdot
y\right) ^{2}}=\left\Vert \left( x_{1},x_{2},0\right) \times \left(
y_{1},y_{2},0\right) \right\Vert
\end{equation*}である。

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3次元空間についても同様です。

命題(3次元空間における平行四辺形の面積)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の非ゼロかつ平行ではないベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)によって張られる平行四辺形の面積は、\begin{equation*}\sqrt{\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}-\left( x\cdot
y\right) ^{2}}=\left\Vert \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \times \left(
y_{1},y_{2},y_{3}\right) \right\Vert
\end{equation*}である。

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