ベクトルによって張られる平行四辺形の面積

平行四辺形を張る2つのベクトルのなす角が与えられている場合

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2つの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、これらが平行でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\boldsymbol{y}=a\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\in \mathbb{R} \)が存在しない場合には、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の始点を一致させることにより、それらを対辺とする平行四辺形を作ることができます（下図）。これをベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)によって張られる平行四辺形（parallelogram spanned by vectors \(\boldsymbol{x}\) and \(\boldsymbol{y}\)）と呼びます。

点\(Y\)から線分\(OX\)へ下ろした垂線の足を\(Z\)と呼ぶのであれば、この平行四辺形の面積は、\begin{equation}OX\cdot YZ=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \cdot YZ \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。これをベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を用いて表現するためにはどうすればいいでしょうか。

まずは、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)のなす角\(\theta \)が明らかになっている状況を想定します。\(\theta \)は平行四辺形の内角であるため、\begin{equation*}0<\theta <\frac{\pi }{2}
\end{equation*}を満たすことに注意してください。正弦の定義より、\begin{equation*}
\sin \left( \theta \right) =\frac{YZ}{\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert }
\end{equation*}を得るため、これと\(\left( 1\right) \)より、平行四辺形の面積は、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\sin \left( \theta \right)
\end{equation*}で与えられることが明らかになりました。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においても同様の議論が成立するため以下を得ます。

平行四辺形の面積と外積の関係

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2つのベクトルによって張られる平行四辺形について再び考えます。

上図から明らかであるように、ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)はベクトル\(\boldsymbol{y}\)のベクトル\(\boldsymbol{x}\)へのベクトル射影に他なりません。つまり、\begin{equation*}\overrightarrow{OZ}=\mathrm{proj}_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{y}
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、ベクトル射影は、\begin{equation*}
\mathrm{proj}_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{y}=\frac{\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}}\boldsymbol{x}
\end{equation*}として導出可能です。したがって、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が与えられれば線分\(OZ\)の長さを、\begin{equation*}\left\Vert \mathrm{proj}_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}として導出できます。また、\(OY\)の長さは\(\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \)であるため、三平方の定理を用いれば平行四辺形の高さ\(YZ\)を特定できます。これと\(OX\)の長さの積をとることにより平行四辺形の面積が明らかになります。具体的には以下の通りです。

つまり、平面上に存在する2つのベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \)によって張られる平行四辺形の面積を導出する際には、\begin{equation*}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)
-\left( x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を利用できるだけでなく、これらのベクトルをあたかも空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上のベクトル\(\left(x_{1},x_{2},0\right) ,\left( y_{1},y_{2},0\right) \)とみなした上で、これらの外積のノルム\begin{equation*}\left\Vert \left( x_{1},x_{2},0\right) \times \left( y_{1},y_{2},0\right)
\right\Vert =\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
x_{2} & 0 \\
y_{2} & 0\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
x_{1} & 0 \\
y_{1} & 0\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}\right) \right\Vert
\end{equation*}をとることもできます。この命題では2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)がなす角\(\theta \)に関する情報を必要としません。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においても同様の議論が成立するため以下を得ます。

つまり、空間上に存在する2つのベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) ,\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)によって張られる平行四辺形の面積を導出する際には、\begin{equation*}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right) \left(
y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right) -\left(
x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right) ^{2}}
\end{equation*}を利用できるだけでなく、これらのベクトルの外積のノルム\begin{equation*}
\left\Vert \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \times \left(
y_{1},y_{2},y_{3}\right) \right\Vert =\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}\right) \right\Vert
\end{equation*}をとることもできます。

演習問題