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実ベクトル空間の部分空間

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実ベクトル空間の部分空間

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)にはベクトル加法スカラー乗法が定義されており、これらの演算はベクトル空間としての以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( x+y\right) =ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{eqnarray*}を満たします。さて、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)を任意に選びます。その要素である2つのベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法のもとでベクトル和\(x+y\in \mathbb{R} ^{n}\)をとることができます。また、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたスカラー乗法のもとでスカラー倍\(ax\in \mathbb{R} ^{n}\)をとることができます。以上を踏まえると、実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)と\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、ベクトルがとり得る範囲を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(X\)へと制限して得られる\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)がベクトル空間としての性質を満たすか検討可能です。つまり、\(X\)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じているとともに\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)がベクトル空間としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall x,y,z\in X:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in X:x+0=x \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in X:x+(-x)=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall x,y,\in X:x+y=y+x \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:1x=x \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:a\left( x+y\right) =ax+ay \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{eqnarray*}がいずれも成立するか検討できます。以上の条件がいずれも満たされる場合、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)のことを実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間(subspace)と呼びます。部分空間をシンプルに\(X\)と表記することもできます。

以下は実ベクトル空間の部分空間の具体例です。

例(部分空間)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の定義より\(\mathbb{R} ^{n}\not=\phi \)です。\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)自身の部分集合ですが、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)はベクトル空間としての性質を満たすため、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)自身の部分空間です。
例(部分空間)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間です(演習問題)。
例(部分空間)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間です(演習問題)。
例(部分空間)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の定義より\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)が成り立ちます。つまり、\(0\)はゼロベクトルです。ゼロベクトルだけからなる集合\(\left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合であるとともに、\(\left( \mathbb{R} ,\left\{ 0\right\} \right) \)はベクトル空間としての性質を満たすため、\(\left( \mathbb{R} ,\left\{ 0\right\} \right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間です(演習問題)。

実ベクトル空間の部分集合は部分空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(部分空間ではない部分集合)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の定義より\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)が成り立ちます。つまり、\(0\)はゼロベクトルです。集合\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合ですが、\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)はゼロベクトルを要素として持たないため\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \right) \)はベクトル空間の性質を満たさず、したがって\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではありません。
例(部分空間ではない部分集合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}\geq 0\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間ではありません(演習問題)。
例(部分空間ではない部分集合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}\leq 1\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間ではありません(演習問題)。

 

部分空間であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)と\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であることとは、\(X\)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じているとともに\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)がベクトル空間としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall x,y,z\in X:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in X:x+0=x \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in X:x+(-x)=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall x,y,\in X:x+y=y+x \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:1x=x \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:a\left( x+y\right) =ax+ay \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つことを意味します。ただし、これらの条件が成立することを1つ1つ確認するのは大変です。ただ、実際には、\(X\)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じていることを保証できれば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であることが保証されます。

命題(部分空間であるための必要十分条件)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であるための必要十分条件である。ただし、\(\left(b\right) ,\left( c\right) \)における演算は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法である。
証明

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上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=\phi \\
&&\left( b\right) \ \exists x,y\in X:x+y\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists x\in X:ax\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)が空集合であるか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分ベクトル空間ではないことを示したことになります。

先の命題を以下の形に言い変えることもできます。

命題(部分空間であるための必要十分条件)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分ベクトル空間であるための必要十分条件である。ただし、\(\left( a\right) \)における\(0\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)中のゼロベクトルであり、\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)における演算は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法である。
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上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists x,y\in X:x+y\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists x\in X:ax\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

先の命題をさらに以下の形に言い変えることもできます。

命題(部分空間であるための必要十分条件)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:ax+by\in X
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であるための必要十分条件である。ただし、\(\left(a\right) \)における\(0\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)中のゼロベクトルであり、\(\left( b\right) \)における演算は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法である。
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上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists a,b\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in X:ax+by\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)が線型結合について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

 

演習問題

問題(部分空間)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\right\}
\end{equation*}として与えられています。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間であることを示してください。
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問題(部分空間)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}
\end{equation*}として与えられています。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間であることを示してください。
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問題(部分空間ではない部分集合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}\geq 0\right\}
\end{equation*}として与えられています。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間ではないことを示してください。
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問題(部分空間ではない部分集合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}\leq 1\right\}
\end{equation*}として与えられています。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間ではないことを示してください。
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問題(部分空間ではない部分集合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}-4x_{2}+5x_{3}=2\right\}
\end{equation*}として与えられています。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間ではないことを示してください。
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問題(部分空間ではない部分集合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分集合が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}\in \mathbb{Q} \wedge x_{2}\in \mathbb{Q} \wedge x_{3}\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}として与えられています。ただし、\(\mathbb{Q} \)はすべての有理数からなる集合です。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間ではないことを示してください。
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