実ベクトル空間の部分空間の定義と具体例

実ベクトル空間の部分空間

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)が与えられているものとします。つまり、ベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n} \\
\cdot &:&\mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算はベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left( ab\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}を満たすということです。慣例にしたがい、スカラー乗法\(\cdot \)の記号を省略します。また、実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)をシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\end{equation*}と表記することもできます。

実ベクトル空間な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられた状況を想定します。その要素である2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法\(+\)のもとでベクトル和\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)をとることができます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。また、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)のもとでスカラー倍\(a\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)をとることができます。つまり、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。

以上を踏まえると、実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)に加えて非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、ベクトルがとり得る範囲を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(X\)へと制限することで得られる、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,X\right)
\end{equation*}がベクトル空間であるか検討できます。つまり、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)がベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)のもとで閉じているとともにベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in X:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in X,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists -\boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left( a\cdot
b\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}がいずれも成立するか検討できます。以上の条件がすべて満たされる場合、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,X\right)
\end{equation*}のことを実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間（subspace）や線型部分空間（linear subspace）などと呼びます。部分空間をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記することもできます。

部分空間であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることとは、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されているベクトル加法\(+\)とスカラー乗法のもとで閉じているとともにベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in X:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in X,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists -\boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left(
ab\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。ただし、これらの条件が成立することを1つ1つ確認するのは面倒です。

実際には、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)のもとで閉じていることだけ確認できれば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であることが保証されます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=\phi \\
&&\left( b\right) \ \exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)が空集合であるか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分ベクトル空間ではないことを示したことになります。

先の命題を以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{0}\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

先の命題をさらに以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{0}\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists a,b\in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)が線型結合について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

部分空間の具体例：ゼロ部分空間

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、ベクトル空間の公理の1つである、\begin{equation*}\left( V_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を得るため、ゼロベクトルだけを要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}をとることができます。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合であるため\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるか検討できますが、実際、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。このような部分空間をゼロ部分空間（zero subspace）と呼びます。

部分空間の具体例：全体空間

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、ベクトル空間の公理の1つである、\begin{equation*}\left( V_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、任意の集合は自身の部分集合であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}です。以上より、\(\mathbb{R} ^{n}\)は非空な\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるか検討できますが、実際、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。このような部分空間を全体空間（entire space）と呼びます。

部分空間の具体例：原点を通過する直線

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)を任意に選びます。直線の定義より\(L\)は空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるとともに、何らかのベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{n}\)および非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}という形で表すことができます。\(\boldsymbol{p}\)は直線\(L\)上に存在する点の位置ベクトルに相当し、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルに相当します。

特に、直線\(L\)が原点を通過する場合には位置ベクトルとしてゼロベクトル\(\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}\)を採用できるため、原点を通過する直線は、\begin{equation*}L=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になります。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)が原点を通過しない場合、つまり、\(L\)のベクトル方程式が以下の条件\begin{equation*}\forall t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{0}\not=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}
\end{equation*}を満たす場合、\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるための条件の1つ\begin{equation*}\boldsymbol{0}\in L
\end{equation*}を満たしません。つまり、原点を通過しない直線\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間ではないということです。

部分空間の具体例：原点を通過する平面

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)を任意に選びます。平面の定義より\(P\)は空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるとともに、何らかのベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{n}\)および線型独立な非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}という形で表すことができます。\(\boldsymbol{p}\)は平面\(P\)上に存在する点の位置ベクトルに相当し、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルに相当します。

特に、平面\(P\)が原点を通過する場合には位置ベクトルとしてゼロベクトル\(\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}\)を採用できるため、原点を通過する平面は、\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になります。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する空間\(P\)が原点を通過しない場合、つまり、\(P\)のベクトル方程式が以下の条件\begin{equation*}\forall s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{0}\not=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}を満たす場合、\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるための条件の1つ\begin{equation*}\boldsymbol{0}\in P
\end{equation*}を満たしません。つまり、原点を通過しない平面\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間ではないということです。

演習問題