楕円と楕円弧

楕円の定義

媒介変数\(t\)が有界閉区間\(\left[ 0,2\pi \right] \)上の値をとり得る状況を想定した上で、それぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t\right) \\
k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定義します。ただし、\(\left( h,k\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)かつ\(a>0\)かつ\(b>0\)です。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によって定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線を楕円（ellipse）と呼びます。つまり、楕円のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t\right) \\
k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}であり、楕円の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。したがって、楕円そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \left[ 0,2\pi \right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t\right) \\
k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。楕円を規定する点\(\left( h,k\right) \)を楕円の中心（center）と呼び、\(a\)を\(x\)軸に沿った半径（radius along the \(x\)-axis）と呼び、\(b\)を\(y\)軸に沿った半径（radius along the \(y\)-axis）と呼びます。

楕円の方程式

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する楕円の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}ですが、これを変形すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\frac{x-h}{a}=\cos \left( t\right) \\
\frac{y-k}{b}=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となり、さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\left( \frac{x-h}{a}\right) ^{2}=\cos ^{2}\left( t\right) \\
\left( \frac{y-k}{b}\right) ^{2}=\sin ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}を得ます。任意の\(t\in \left[0,2\pi \right] \)について、\begin{equation*}\sin ^{2}\left( t\right) +\cos ^{2}\left( t\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立方程式から媒介変数\(t\)を消去すると以下の方程式\begin{equation*}\left( \frac{x-h}{a}\right) ^{2}+\left( \frac{y-k}{b}\right) ^{2}=1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}+\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}=1
\end{equation*}を得ます。以上が楕円の方程式であるため、この方程式を用いて楕円を、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}+\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}=1\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

楕円弧

楕円上の弧を楕円弧（elliptical arc）と呼びます。楕円弧のベクトル方程式は、\begin{equation*}
0\leq t_{0}<t_{1}\leq 2\pi
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t\right) \\
k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されるため、楕円弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。したがって、楕円弧そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t\right) \\
k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。

楕円弧の始点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t_{0}\right) \\
k+b\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、楕円弧の終点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t_{1}\right) \\
k+b\sin \left( t_{1}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。

演習問題