楕円面と楕円面パッチ

楕円面の定義

媒介変数\(s\)が有界閉区間\(\left[ 0,2\pi \right] \)上の値をとり、もう一方の媒介変数\(t\)が有界閉区間\(\left[0,\pi \right] \)上の値をとり得る状況を想定した上で、それぞれの\(\left( s,t\right)\in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \)に対して、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( s,t\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。ただし、\(\left( h,k,l\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)かつ\(a>0\)かつ\(b>0\)かつ\(c>0\)です。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によって定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面を楕円面（ellipsoid）と呼びます。つまり、楕円面のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}であり、楕円面の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
z=l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。したがって、楕円面そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[
0,\pi \right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。楕円面を規定する点\(\left(h,k,l\right) \)を球面の中心（center）と呼び、\(a\)を\(x\)軸に沿った半径（radius along the \(x\)-axis）と呼び、\(b\)を\(y\)軸に沿った半径（radius along the \(y\)-axis）と呼び、\(c\)を\(z\)軸に沿った半径（radius along the \(z\)-axis）と呼びます。

楕円面の方程式

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する楕円面の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
z=l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}ですが、\(a,b,c>0\)を踏まえた上でこれを変形すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x-h}{a}=\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\frac{y-k}{b}=\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\frac{z-l}{c}=\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}となり、さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
\left( \frac{x-h}{a}\right) ^{2}=\cos ^{2}\left( s\right) \sin ^{2}\left(
t\right) \\
\left( \frac{y-k}{b}\right) ^{2}=\sin ^{2}\left( s\right) \sin ^{2}\left(
t\right) \\
\left( \frac{z-l}{c}\right) ^{2}=\cos ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}を得ます。任意の\(\left(s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \)について、\begin{eqnarray*}\sin ^{2}\left( s\right) +\cos ^{2}\left( s\right) &=&1 \\
\sin ^{2}\left( t\right) +\cos ^{2}\left( t\right) &=&1
\end{eqnarray*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立方程式から媒介変数\(s\)を消去すると、\begin{eqnarray*}\left( \frac{x-h}{a}\right) ^{2}+\left( \frac{y-k}{b}\right) ^{2} &=&\sin
^{2}\left( t\right) \\
\left( \frac{z-l}{c}\right) ^{2} &=&\cos ^{2}\left( t\right)
\end{eqnarray*}を得て、さらにここから媒介変数\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left( \frac{x-h}{a}\right) ^{2}+\left( \frac{y-k}{b}\right) ^{2}+\left(
\frac{z-l}{c}\right) ^{2}=1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}+\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}+\frac{\left( z-l\right) ^{2}}{c^{2}}=1
\end{equation*}を得ます。以上が楕円面の方程式であるため、この方程式を用いて楕円面を、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}+\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}+\frac{\left( z-l\right) ^{2}}{c^{2}}=1\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

楕円面パッチ

楕円面上のパッチを楕円面パッチ（ellipsoidal patch）と呼びます。楕円面パッチのベクトル方程式は、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &s_{0}<s_{1}\leq 2\pi \\
0 &\leq &t_{0}<t_{1}\leq \pi
\end{eqnarray*}を満たす実数\(s_{0},s_{1},t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ s_{0},s_{1}\right] \times \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されるため、楕円面パッチの媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
z=l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ s_{0},s_{1}\right] \times \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。したがって、楕円面パッチそのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \left[ s_{0},s_{1}\right] \times \left[ t_{0},t_{1}\right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
k+b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
l+c\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。

演習問題