直線どうしの交点

直線どうしの交点

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線を表現するためには、その直線上に存在する点の位置ベクトルと直線の方向ベクトルを指定すれば十分です。具体的には、問題としている直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されるため、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち直線は、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と表現されます。以上がベクトル方程式を用いた直線の定義です。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( p,v\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\} \\
L\left( q,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s\in \mathbb{R} :x=q+sw\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。これらの直線が交わる（intersect）こととは、これらの共通部分が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) \cap L\left( q,w\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

2本の直線が交わる場合、両者に属する点が存在しますが、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ^{n}:x\in L\left( p,v\right) \cap L\left( q,w\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の条件を満たす点\(x\)を2つの直線の交点（intersection）と呼びます。

直線の定義より、以上の条件を、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists t,s\in \mathbb{R} :x=p+tv=q+sw
\end{equation*}と具体的に表現できますが、さらにこのとき、\begin{equation*}
\exists t,s\in \mathbb{R} :p+tv=q+sw
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。つまり、連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
p_{1}+tv_{1}=q_{1}+sw_{1} \\
\vdots \\
p_{n}+tv_{n}=q_{n}+sw_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在する場合、2つの直線は交わります。逆に、上の連立方程式に解\(\left( s,t\right) \)が存在しない場合、2つの直線は交わりません。

直線どうしの交点の個数

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が等しい場合、それらは交わるだけでなく、完全に重なるため、すべての交点からなる集合は直線そのものです。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が異なり、なおかつそれらが交わる場合、交点は常に1つだけです。

数直線上に存在する2本の交点

数直線\(\mathbb{R} \)上に存在する任意の直線は\(\mathbb{R} \)自身と一致します。したがって、数直線\(\mathbb{R} \)上に存在する2本の直線を任意に選んだとき、それらは交わるだけでなく、完全に重なるため、すべての交点からなる集合は\(\mathbb{R} \)です。

平面上に存在する2本の直線の交点

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2本の直線のベクトル方程式がそれぞれ、\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2}\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}として与えられている場合、両者が交わることは、以下の連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
p_{1}+tv_{1}=q_{1}+sw_{1} \\
p_{2}+tv_{2}=q_{2}+sw_{2}\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( t,s\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在することを意味します。逆に、上の連立方程式に解\(\left(t,s\right) \)が存在しない場合、2本の直線は交わりません。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、それを直線の方程式の法線標準形を用いて表現できます。つまり、直線上に存在する点の位置ベクトルと直線の法線ベクトル\begin{eqnarray*}p &=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
n &=&\left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられれば、直線の方程式の法線標準形が、\begin{equation*}
\left( n-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0
\end{equation*}として定まるということです。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線を、\begin{eqnarray*}L\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}と定まります。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
L\left( q,m\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-q\right) \cdot m=0\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。これらの直線が交わることとは、これらの共通部分が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}
L\left( p,n\right) \cap L\left( q,m\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。2本の直線が交わる場合、両者に属する点が存在しますが、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ^{2}:x\in L\left( p,n\right) \cap L\left( q,m\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の条件を満たす点\(x\)が2つの直線の交点です。直線の定義より、以上の条件を、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} ^{2}:\left( x-p\right) \cdot n=0\wedge \left( x-q\right) \cdot m=0
\end{equation*}と表現できます。つまり、連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
\left( x_{1}-p_{1}\right) n_{1}+\left( x_{2}-p_{2}\right) n_{2}=0 \\
\left( x_{1}-q_{1}\right) m_{1}+\left( x_{2}-q_{2}\right) m_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在する場合、2つの直線は交わります。逆に、上の連立方程式に解\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在しない場合、2つの直線は交わりません。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、それを直線の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することができます。ただし、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)に存在する直線を、\begin{equation*}L\left( a_{1},a_{2},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( a_{11},a_{12},b_{1}\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+b_{1}=0\right\} \\
L\left( a_{21},a_{22},b_{2}\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+b_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。これらの直線が交わることとは、これらの共通部分が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}
L\left( a_{11},a_{12},b_{1}\right) \cap L\left( a_{21},a_{22},b_{2}\right)
\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。2本の直線が交わる場合、両者に属する点が存在しますが、すなわち、\begin{equation*}
\exists \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in L\left( a_{11},a_{12},b_{1}\right) \cap L\left(
a_{21},a_{22},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の条件を満たす点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が2つの直線の交点です。直線の定義より、以上の条件を、\begin{equation*}\exists \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+b_{1}=0\wedge a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+b_{2}=0
\end{equation*}と具体的に表現できます。つまり、連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+b_{1}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+b_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在する場合、2つの直線は交わります。逆に、上の連立方程式に解\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在しない場合、2つの直線は交わりません。

空間上に存在する2本の直線の交点

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2本の直線のベクトル方程式がそれぞれ、\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}として与えられている場合、両者が交わることは、以下の連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
p_{1}+tv_{1}=q_{1}+sw_{1} \\
p_{2}+tv_{2}=q_{2}+sw_{2} \\
p_{3}+tv_{3}=q_{3}+sw_{3}\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( t,s\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在することを意味します。逆に、上の連立方程式に解\(\left(t,s\right) \)が存在しない場合、2本の直線は交わりません。

演習問題