平面どうしの交点

平面どうしの交点

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面を表現するためには、その平面上に存在する点の位置ベクトルと平面の方向ベクトルを指定すれば十分です。具体的には、問題としている平面上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されるため、平面上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち平面は、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と表現されます。以上がベクトル方程式を用いた平面の定義です。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :x=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。これらの平面が交わる（intersect）こととは、これらの共通部分が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) \cap P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right)
\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

2本の平面が交わる場合、両者に属する点が存在しますが、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ^{n}:x\in P\left( p,v,w\right) \cap P\left( p^{\prime },v^{\prime
},w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の条件を満たす点\(x\)を2つの平面の交点（intersection）と呼びます。

平面の定義より、以上の条件を、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists s,t,s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }
\end{equation*}と具体的に表現できますが、さらにこのとき、\begin{equation*}
\exists s,t,s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :p+sv+tw=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。つまり、連立不等式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
p_{1}+sv_{1}+tw_{1}=p^{\prime }+s^{\prime }v_{1}^{\prime }+t^{\prime
}w_{1}^{\prime } \\
\vdots \\
p_{n}+sv_{n}+tw_{n}=p^{\prime }+s^{\prime }v_{n}^{\prime }+t^{\prime
}w_{n}^{\prime }\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( s,t,s^{\prime },t^{\prime }\right) \in \mathbb{R} ^{4}\)が存在する場合、2つの平面は交わります。逆に、上の連立方程式に解\(\left( s,t,s^{\prime },t^{\prime}\right) \)が存在しない場合、2つの平面は交わりません。

平面上に存在する2つの平面の交点

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する任意の平面は\(\mathbb{R} ^{2}\)自身と一致します。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2つの平面を任意に選んだとき、それらは交わるだけでなく、完全に重なるため、すべての交点からなる集合は\(\mathbb{R} ^{2}\)です。

空間上に存在する2つの平面の交点

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)に存在する2つの平面のベクトル方程式がそれぞれ、\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1}^{\prime } \\
p_{2}^{\prime } \\
p_{3}^{\prime }\end{array}\right) +s^{\prime }\left(
\begin{array}{c}
v_{1}^{\prime } \\
v_{2}^{\prime } \\
v_{3}^{\prime }\end{array}\right) +t^{\prime }\left(
\begin{array}{c}
w_{1}^{\prime } \\
w_{2}^{\prime } \\
w_{3}^{\prime }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}として与えられている場合、両者が交わることは、以下の連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
p_{1}+sv_{1}+tw_{1}=p_{1}^{\prime }+s^{\prime }v_{1}^{\prime }+t^{\prime
}w_{1}^{\prime } \\
p_{2}+sv_{2}+tw_{2}=p_{2}^{\prime }+s^{\prime }v_{2}^{\prime }+t^{\prime
}w_{2}^{\prime } \\
p_{3}+sv_{3}+tw_{3}=p_{3}^{\prime }+s^{\prime }v_{3}^{\prime }+t^{\prime
}w_{3}^{\prime }\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( s,t,s^{\prime },t^{\prime }\right) \in \mathbb{R} ^{4}\)が存在することを意味します。逆に、上の連立方程式に解\(\left(s,t,s^{\prime },t^{\prime }\right) \)が存在しない場合、2つの平面は交わりません。

上の連立方程式では4つの変数\(\left( s,t,s^{\prime },t^{\prime }\right) \)に対して3本の方程式しか与えられていないため解は一意的に定まりません。つまり、2つの異なる平面が交わる場合、交点を1つの点として表すことはできないということです。実際、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する異なる2つの平面が交わる場合、それらの交点からなる集合は直線になるのですが、詳細は後ほど議論します。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、それを平面の方程式の法線標準形を用いて表現できます。つまり、平面上に存在する点の位置ベクトルと平面の法線ベクトル\begin{eqnarray*}p &=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
n &=&\left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられれば、平面の方程式の標準形が、\begin{equation*}
\left( n-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0
\end{equation*}として定まるということです。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面は、\begin{eqnarray*}P\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}と定まります。

平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
P\left( q,m\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x-q\right) \cdot m=0\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。これらの平面が交わることとは、これらの共通部分が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}
P\left( p,n\right) \cap P\left( q,m\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。2つの平面が交わる場合、両者に属する点が存在しますが、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ^{3}:x\in P\left( p,n\right) \cap P\left( q,m\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の条件を満たす点\(x\)が2つの平面の交点です。平面の定義より、以上の条件を、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} ^{3}:\left( x-p\right) \cdot n=0\wedge \left( x-q\right) \cdot m=0
\end{equation*}と表現できます。つまり、連立不等式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
\left( x_{1}-p_{1}\right) n_{1}+\left( x_{2}-p_{2}\right) n_{2}+\left(
x_{3}-p_{3}\right) n_{3}=0 \\
\left( x_{2}-q_{1}\right) m_{1}+\left( x_{2}-q_{2}\right) m_{2}+\left(
x_{3}-q_{3}\right) m_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)が存在する場合、2つの平面は交わります。逆に、上の連立方程式に解\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)が存在しない場合、2つの平面は交わりません。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、それを平面の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することができます。ただし、\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面を、\begin{equation*}P\left( a_{1},a_{2},,a_{3},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( a_{11},a_{12},a_{13},b_{1}\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+b_{1}=0\right\} \\
P\left( a_{21},a_{22},a_{23},b_{2}\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+b_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。これらの平面が交わることとは、これらの共通部分が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}
P\left( a_{11},a_{12},a_{13},b_{1}\right) \cap P\left(
a_{21},a_{22},a_{23},b_{2}\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。2本の平面が交わる場合、両者に属する点が存在しますが、すなわち、\begin{equation*}
\exists \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in P\left( a_{11},a_{12},a_{13},b_{1}\right) \cap P\left(
a_{21},a_{22},a_{23},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の条件を満たす点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)が2つの平面の交点です。平面の定義より、以上の条件を、\begin{equation*}\exists \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+b_{1}=0\wedge
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+b_{2}=0
\end{equation*}と具体的に表現できます。つまり、連立不等式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+b_{1}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+b_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に解\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)が存在する場合、2つの平面は交わります。逆に、上の連立方程式に解\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)が存在しない場合、2つの平面は交わりません。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面が等しい場合、それらは交わるだけでなく、完全に重なるため、すべての交点からなる集合は平面そのものです。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面が異なり、なおかつそれらが交わる場合、すべての交点からなる集合は直線になります。